Funció gamma inversa
En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:
on denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el no creix més ràpid que el ), però de tipus infinit (el que significa que creix més ràpid que qualsevol múltiple de , ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a al pla esquerre).
Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.
Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.
Desenvolupament en producte infinit modifica
Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:
on és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos z.
Sèries de Taylor modifica
Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de
on és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a , el coeficient per al terme es pot calcular recursivament com[1]
on és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:[2]
Per a valors petits, aquesta dona els següents valors:
k | ak |
---|---|
1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |
2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |
3 | −0.6558780715202538810770195151453904812798 |
4 | −0.0420026350340952355290039348754298187114 |
5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |
6 | −0.0421977345555443367482083012891873913017 |
7 | −0.0096219715278769735621149216723481989754 |
8 | +0.0072189432466630995423950103404465727099 |
9 | −0.0011651675918590651121139710840183886668 |
10 | −0.0002152416741149509728157299630536478065 |
11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |
12 | −0.0000201348547807882386556893914210218184 |
13 | −0.0000012504934821426706573453594738330922 |
14 | +0.0000011330272319816958823741296203307449 |
15 | −0.0000002056338416977607103450154130020573 |
16 | +0.0000000061160951044814158178624986828553 |
17 | +0.0000000050020076444692229300556650480600 |
18 | −0.0000000011812745704870201445881265654365 |
19 | +0.0000000001043426711691100510491540332312 |
20 | +0.0000000000077822634399050712540499373114 |
21 | −0.0000000000036968056186422057081878158781 |
22 | +0.0000000000005100370287454475979015481323 |
23 | −0.0000000000000205832605356650678322242954 |
24 | −0.0000000000000053481225394230179823700173 |
25 | +0.0000000000000012267786282382607901588938 |
26 | −0.0000000000000001181259301697458769513765 |
27 | +0.0000000000000000011866922547516003325798 |
28 | +0.0000000000000000014123806553180317815558 |
29 | −0.0000000000000000002298745684435370206592 |
30 | +0.0000000000000000000171440632192733743338 |
Una aproximació per a es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:
on , i és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.
Desenvolupament asimptòtic modifica
Com tendeix a l'infinit a una constant tenim:
Representació integral de contorn modifica
Una representació integral segons Hermann Hankel és
on és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.
Representacions integrals en els enters positius modifica
Per a enters positius , hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per[3]
- .
De la mateixa manera, per a qualsevol real i es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:[4]
on el cas particular quan proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, .
Integral al llarg de l'eix real modifica
La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor
que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.
Referències modifica
- ↑ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682. - ↑ Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function . HAL archives, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01029331v1
- ↑ Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1994, p. 566.
- ↑ «Integral formula for ».
Bibliografia modifica
- Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Arxivat 2016-03-04 a Wayback Machine.
- Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Arxivat 2020-05-31 a Wayback Machine.
- Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
- Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld