Funció zeta de Lefschetz

En matemàtiques, la funció zeta de Lefschetz és una eina utilitzada en topologia periòdica, en la teoria del punt fix, i en sistemes dinàmics.

Donat un mapatge $f$, la funció zeta de Lefschetz es defineix per la sèrie

$\zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {z^{n}}{n}}\right),$

on $L(f^{n})$ és el nombre de Lefschetz de la $n$-iterada de $f$.

Aquesta funció zeta és important en la teoria topològica periòdica perquè és un invariant singular conté informació sobre totes les iterades de $f$.

Exemples

El mapa d'identitat en $X$ posseeix la següent funció zeta de Lefschetz:

${\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},$

on $\chi (X)$ és la característica d'Euler de $X$, és a dir, el nombre de Lefschetz del mapa d'identitat.

Un exemple menys trivial és el següent. Si es considera com a espai el cercle unitari ($X=S^{1}$) i sigui $f$ la seva reflexió en l'eix $x$, o expressat d'una altra manera $f(\theta )=-\theta$, llavors $f$ posseeix un nombre de Lefschetz igual a $2$, i $f^{2}$ és el mapa d'identitat, que té per nombre de Lefschetz el $0$. Totes les iterades senars posseeixen un nombre de Lefschetz igual a $2$, i totes les iterades parelles posseeixen un nombre de Lefschetz igual a $0$. Per tant la funció zeta de $f$ és

${\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}$

Fórmula

Si $f$ és un mapa continu en una varietat compacta $X$ de dimensió $n$ (o en forma més general tot poliedre compacte), la funció zeta Lefschetz queda expressada per la fórmula

$\zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}.$

La qual és una funció racional. Els polinomis del numerador i del denominador són essencialment els polinomis característics del mapa induït per $f$ en els diversos espais homòlegs.

Connexions

Aquesta funció generatriu és essencialment una forma algebraica de la funció zeta d'Artin-Mazur, la qual proveeix informació geomètrica sobre els punts fixos i periòdics de $f$.

Referències

• Fel'shtyn, Alexander. Dynamical Zeta-Functions, Nielsen Theory and Reidemeister Torsion (en anglès), 1996.  arXiv: chao-dyn/9603017

Vegeu també

• Funció zeta d'Artin-Mazur
• Solomon Lefschetz
• Teorema del punt fix de Lefschetz