Funció zeta de Lefschetz

En matemàtiques, la funció zeta de Lefschetz és una eina utilitzada en topologia periòdica, en la teoria del punt fix, i en sistemes dinàmics.

Donat un mapatge , la funció zeta de Lefschetz es defineix per la sèrie

on és el nombre de Lefschetz de la -iterada de .

Aquesta funció zeta és important en la teoria topològica periòdica perquè és un invariant singular conté informació sobre totes les iterades de .

Exemples modifica

El mapa d'identitat en   posseeix la següent funció zeta de Lefschetz:

 

on   és la característica d'Euler de  , és a dir, el nombre de Lefschetz del mapa d'identitat.

Un exemple menys trivial és el següent. Si es considera com a espai el cercle unitari ( ) i sigui   la seva reflexió en l'eix  , o expressat d'una altra manera  , llavors   posseeix un nombre de Lefschetz igual a  , i   és el mapa d'identitat, que té per nombre de Lefschetz el  . Totes les iterades senars posseeixen un nombre de Lefschetz igual a  , i totes les iterades parelles posseeixen un nombre de Lefschetz igual a  . Per tant la funció zeta de   és

 

Fórmula modifica

Si   és un mapa continu en una varietat compacta   de dimensió   (o en forma més general tot poliedre compacte), la funció zeta Lefschetz queda expressada per la fórmula

 

La qual és una funció racional. Els polinomis del numerador i del denominador són essencialment els polinomis característics del mapa induït per   en els diversos espais homòlegs.

Connexions modifica

Aquesta funció generatriu és essencialment una forma algebraica de la funció zeta d'Artin-Mazur, la qual proveeix informació geomètrica sobre els punts fixos i periòdics de  .

Referències modifica

  • Fel'shtyn, Alexander. Dynamical Zeta-Functions, Nielsen Theory and Reidemeister Torsion (en anglès), 1996.  arXiv: chao-dyn/9603017

Vegeu també modifica