El cercle de centre 0 i radi 1 en el pla complex és un grup de Lie compacte amb multiplicació complexa.

En matemàtiques, un grup (topològic, sovint sobreentès) compacte és un grup la topologia del qual és compacta. Els grups compactes són una generalització natural dels grups finits amb topologia discreta

D'ara endavant, assumirem que tots els grups són espais de Hausdorff.

Grups de Lie compactesModifica

Els grups de Lie formen una classe típica de grups topològics, i els grups de Lie compactes tenen una teoria particularment ben desenvolupada. Els exemples bàsics de grups de Lie compactes inclouen

El teorema de classificació dels grups de Lie compactes declara que aquesta llista d'exemples cobreix, pel que fa a extensions i cobertures finites, tots els casos (incloent-hi algunes redundàncies).

ClassificacióModifica

Sigui G un grup de Lie compacte, i G0 la seva component d'identitat amb la qual és connectat, el grup de quocient G/G0 és el grup de components π0(G) que ha de ser finit car G és compacte. Per tant, tenim una extensió finita

 

Ara cada grup de Lie compacte i connex G0 té una cobertura finita

 

on   és un grup abelià finit i   és el producte d'un torus i un grup de Lie compacte simplement connex K:

 

Finalment, cada grup de Lie K, compacte i simplement connex, és el producte de grups de Lie simples, compactes i simplement connexos, Ki cadascú del qual és isomorf exactament a un d'aquests casos:

  • Sp(n), n ≥ 1
  • SU(n), n ≥ 3
  • Espín(n), n ≥ 7
  • G2, F4, E6, E7 i E8

Mesura de HaarModifica

Tots els grup compactes tenen una mesura de Haar, que és invariant respecte a translacions esquerra i dreta.[1] En altres paraules, aquests grups són unimodulars. La mesura de Haar és fàcilment normalitzada per a esdevenir una mesura de probabilitat, anàlega a dθ/2π al cercle.

Teoria de representacióModifica

La teoria de representació dels grups compactes va ser fundada pel teorema de Peter–Weyl.[2] Hermann Weyl la va completar detallant la teoria de caràcter dels grups de Lie connexos compactes, basats en la teoria del tor màxim. La fórmula de caràcter de Weyl resultant ha estat un dels resultats influents de les matemàtiques de segle XX.

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Weil, André (1940), L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, vol. 869, Actualités Scientifiques et Industrielles, Paris: Hermann
  2. Peter, F. & Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ann. 97: 737–755, DOI 10.1007/BF01447892