Grup de Pauli

En física i matemàtiques, el grup Pauli $G_{1}$ en 1 qubit és el grup de matrius de 16 elements format per la matriu d'identitat $I$ 2×2 i totes les matrius de Pauli

El gràfic de Möbius–Kantor, el gràfic de Cayley del grup de Pauli $G_{1}$ amb els generadors X, Y i Z

$X=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad Y=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad Z=\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

juntament amb els productes d'aquestes matrius amb els factors $\pm 1$ i $\pm i$ :

$G_{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{\pm I,\pm iI,\pm X,\pm iX,\pm Y,\pm iY,\pm Z,\pm iZ\}\equiv \langle X,Y,Z\rangle$

El grup Pauli és generat per les matrius de Pauli, i com elles rep el nom de Wolfgang Pauli.

El grup Pauli en marxa $n$ qubits, $G_{n}$, és el grup generat pels operadors descrits anteriorment aplicat a cadascun d'ells $n$ qubits a l'espai de Hilbert del producte tensor $(\mathbb {C} ^{2})^{\otimes n}$. És a dir,

$$G_{n}=\langle W_{1}\otimes \cdots \otimes W_{n}:W_{i}\in \{X,Y,Z\}\rangle .$$

L'ordre de $G_{n}$ és $4\cdot 4^{n}$ ja que un escalar $\pm 1$ o $\pm i$ factor en qualsevol posició del tensor es pot moure a qualsevol altra posició.

Com a grup abstracte, $G_{1}\cong C_{4}\circ D_{4}$ és el producte central d'un grup cíclic d'ordre 4 i el grup diedre d'ordre 8.

El grup Pauli és una representació del grup gamma en l'espai euclidià tridimensional. No és isomorf al grup gamma; és menys lliure, ja que el seu element quiral ho és $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=iI$ mentre que no hi ha aquesta relació per al grup gamma.