Homomorfisme dual

Si és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos ) hi ha un únic homomorfisme

entre les respectives estructures duals que compleix

Aquest homomorfisme, , és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme .

Existència i unicitatModifica

ExistènciaModifica

La relació

 

defineix efectivament una única forma lineal a  . En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de   és no degenerada en resulta que, si

 

  pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i  . La linealitat de la forma   és, també immediata:

 

UnicitatModifica

La mateixa argumentació, basada en la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre  , mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si

 

resulta

 

és a dir,

 

i  .

PropietatsModifica

Les següents propietats són immediates:

  •  
  •  

Nuclis i imatges dualsModifica

Entre els nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat

 

 

perquè les dues formes bilineals

 

 

 

 

són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.

Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finitaModifica

Si   i   són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals   i   i els subespais  ,  ,  ,   i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta

 

 

 

 

que, junt amb els isomorfismes

 

 

dóna

 

i dues aplicacions duals,   i   tenen el mateix rang.

Matrius d'aplicacions dualsModifica

Si  ,   i  ,   són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita,   i   són dos homomorfismes duals i

 

 

 

 

en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme   consisteix en les   columnes  , cadascuna amb   elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila   columna   d'aquesta matriu és:

 

D'altra banda, si convenim a disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual   consisteix en les   files  , cadascuna amb   elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila   columna   d'aquesta matriu és:

 

i, com que  , resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim a disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.

Això i que els rangs de   i de   són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.

Vegeu tambéModifica