Identitat de Beltrami

cas especial de l'equació d'Euler-Lagrange

La identitat de Beltrami, que porta el nom del matemàtic italià Eugenio Beltrami, és un cas especial de les equacions d'Euler-Lagrange en el càlcul de variacions.

Eugenio Beltrami (1835-1900)

Les equacions d'Euler-Lagrange serveixen per extremar l'acció de les funcions de la forma

on i són constants, i .[1]

Si , llavors les equacions d'Euler-Lagrange es redueixen a la identitat de Beltrami,

on C és una constant.[Nota 1][2]

DerivacióModifica

La següent derivació de la identitat de Beltrami comença amb l'equació d'Euler-Lagrange,

 

Multiplicant els dos costats per u,

 

Segons la regla de la cadena,

 

on  .

Reordenant això es produeixen

 

Per tant, substituint aquesta expressió per   en la segona equació d'aquesta derivació,

 

Segons la regla del producte, l'últim terme es reexpressa com a

 

i reordenant,

 

Per al cas de  , això es redueix a

 

de manera prenen els resultats de l'antiderivada en la identitat de Beltrami,

 

on C és una constant.[Nota 2]

AplicacionsModifica

Solució al problema de la braquistòcronaModifica

 
La solució al problema de la braquistòcrona és la cicloide

Un exemple d'aplicació de la identitat de Beltrami és el problema de la braquistòcrona, que consisteix a trobar la corba   que minimitza la integral

 

L'integrand

 

no depèn explícitament de la variable d'integració  , de manera que s’aplica la identitat de Beltrami,

 

Substituint per   i simplificant,

 

que es pot resoldre amb el resultat posat en forma d’equacions paramètriques

 
 

amb   sent la meitat de la constant anterior,  , i   essent una variable. Aquestes són les equacions paramètriques per a una cicloide.[Nota 3]

NotesModifica

  1. Per tant, la transformada de Legendre del lagrangià, del hamiltonià, és constant al llarg del camí dinàmic.
  2. Aquesta derivació de la identitat de Beltrami correspon a la de Weisstein, Eric W. «Beltrami Identity» (en anglès). MathWorld.
  3. Aquesta solució del problema de la braquistòcrona correspon a la de Mathews, Jon; Walker, RL. Mathematical Methods of Physics (en anglès). New York: W. A. Benjamin, Inc., 1965, p. 307-309. 

ReferènciesModifica

  1. Courant, R; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics (en anglès). I. Nova York: Interscience Publishers, Inc., 1953. ISBN 978-0471504474. 
  2. Weisstein, Eric W. «Euler-Lagrange Differential Equation» (en anglès). MathWorld.