Obre el menú principal

En matemàtiques, l'invers (també anomenat simètric) d'un element x dins d'un conjunt proveït d'una llei de composició interna amb element neutre (A, *), és un element y de A tal que x * y = y * x = e, on e és l'element neutre de l'operació * en A. Diem aleshores que x és un element invertible. Quan l'operació és la suma se sol parlar d'element oposat en lloc d'invers, i el representem per −x. Quan l'operació és el producte se sol parlar de recíproc i es representa per o .

Per exemple, el recíproc (invers multiplicatiu) de 2 en el conjunt dels nombres racionals és 1/2 o 0,5 mentre que l'oposat (invers additiu) és −2. El recíproc i l'oposat de la unitat imaginària i és −i, ja que i·(−i) = 1; ii = 0.

Invers en un grupoide unitariModifica

Quan l'operació no és commutativa cal distingir entre element invers per l'esquerra i invers per la dreta. Sigui x un element del grupoide unitari  , i e l'element neutre de l'operació   a A.

  • Si existeix un element   tal que  , direm que x és invertible per l'esquerra i que   és l'invers per l'esquerra de x. Un element invertible per l'esquerra és simplificable per l'esquerra.
  • Si existeix un element  tal que  , direm que x és invertible per la dreta i que   és l'invers per la dreta de x. Un element invertible per la dreta és simplificable per la dreta.
  • Si un element és invetible per l'esquerra i per la dreta, i els seus inversos són iguals, diem que és invertible bilateral o simplement invertible:  . En aquest cas el parell   i   commuten. Un element invertible és simplificable.

Un element x pot tenir més d'un invers per l'esquerra i/o per la dreta. Noteu que, en general, si existeixen inversos per l'esquerra i per la dreta, aquests no tenen per què ser iguals:  . Però, si la llei de composició és associativa, aleshores l'invers per la dreta és igual a l'invers per l'esquerra, i a més a més, únic.

Invers en un semigrupModifica

El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre que mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element x d'un semigrup   és regular si existeix un altre element y en S tal que  . Direm aleshores que y és un pseudoinvers de x. Direm, en canvi, que y és un invers de x si   i a més  . Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic.

  • Tot element regular té almenys un invers. Si   aleshores   és un invers de x en el sentit a dalt definit.
  • Si y és un invers de x, aleshores   i   són elements idempotents:  ,  . Per tant, tota parella d'elements mútuament inversos genera una parella d'elements idempotents, i  ,  , és a dir, e actua com a identitat per l'esquerra per a x, mentre que f actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de y. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta.

Vegeu tambéModifica