Semigrup

En matemàtiques, un semigrup és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa. Un semigrup és doncs, un magma associatiu.

Formalment, $(E,\star )$ és un semigrup si:

1. $\forall (x,y)\in E^{2},x\star y\in E$ (llei de composició interna).
2. $\forall (x,y,z)\in E^{3},x\star (y\star z)=(x\star y)\star z$ (associativitat)

Quan un semigrup té a més element neutre s'anomena monoide.

Un exemple de semigrup: els polinomis de grau 3 amb la suma

El conjunt dels polinomis de grau 3 amb coeficients naturals, amb l'addició, és un semigrup, amb les característiques següents:

L'operació és una llei de composició interna

Podem expressar dos polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ de grau 3 amb coeficients naturals qualssevol de la següent manera:

1. $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
2. $Q(x)=ex^{3}+fx^{2}+gx+h$

La suma dels dos polinomis pot ser entesa com la suma dels seus components:

$P(x)+Q(x)=(a+e)x^{3}+(b+f)x^{2}+(c+g)x+(d+h)$.

Atès que els coeficients de $P(x)$ i $Q(x)$ són naturals, els de la seva suma també ho seran. Per tant, l'operació és una llei de composició interna.

No té element neutre

Prenent $P(x)$ i un polinomi $I(x)$ tal que $I(x)=ex^{3}+fx^{2}+gx+h$, on e, f, g i h són nombres naturals, $I(x)$ és l'element neutre del conjunt si satisfà l'equació $P(x)+I(x)=P(x)$. Per tant, la suma d'aquests dos polinomis $P(x)+I(x)$ hauria de ser igual a $P(x)$. L'única solució possible a aquesta equació és que totes les components de $I(x)$ siguin 0, de manera que no seria un element del conjunt. En conseqüència, no existeix un element neutre.

L'operació és associativa en el conjunt

Com s'ha especificat abans, la suma de dos polinomis pot expressar-se com la suma dels seus components. Sabent que aquests són nombres naturals i que la suma és associativa pels nombres naturals, pot es pot assegurar que l'operació també és associativa en el conjunt dels polinomis de grau 3 amb coeficients naturals.

La divisió no sempre és possible

Perquè la divisió sigui sempre possible, s'ha de verificar que per a qualsevol $P(x)$ i $Q(x)$ en aquest conjunt, existeix un divisor $D(x)$, també en el conjunt, tal que $Q(x)+D(x)=P(x)$. Aquesta condició no es compleix per a tots els $P(x)$ i $Q(x)$ del conjunt, ja que si un dels components de $P(x)$ és més petit que el mateix component de $Q(x)$, no existirà cap divisor en el conjunt que satisfaci l'equació. Per exemple, aquesta condició no es verificaria per a $P(x)=x^{3}+x^{2}+2x+1$ i per a $Q(x)=4x^{3}+3x^{2}+x+5$.

Altres exemples

• El conjunt dels naturals sense el zero, amb l'addició, és un semigrup.
• El conjunt dels nombres positius múltiples de n per un n fixat, amb l'addició, és un semigrup.

Bibliografia

• Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). París: Hermann, 1970. 
• Weisstein, Eric W. «Semigroup» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. [Consulta: 27 novembre 2013].
• Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963. 
• Suschkewitsch, Anton «Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit» (en alemany). Mathematische Annalen, Vol. 99, Num. 1, 1928, pàg. 30-50. DOI: 10.1007/BF01459084. ISSN: 0025-5831.

Vegeu també

• Element absorbent
• Magma
• Monoide, semigrup amb element neutre.