Monoide

En matemàtiques, un monoide és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa i d'un element neutre. Un monoide és doncs, un magma associatiu i amb element neutre.

Amb altres paraules, No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle (E,\star,e)} és un monoide si:

1. No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \forall (x,y)\in E^2, x\star y \in E} (llei de composició interna).
2. No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^3, x\star (y\star z) = (x\star y)\star z} (associativitat)
3. No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle e\in E, \forall x\in E, x\star e=e\star x=x} (element neutre).

Quan no es té l'existència de l'element neutre parlem d'un semigrup.

Un monoide es diu simplificable a l'esquerra si

No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \forall (a,b,c)\in E^3, a*b=a*c\Rightarrow b=c.}

De forma similar, es pot definir simplificable a la dreta.

Submonoide

Un submonoide d'un monoide No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle (E,\star,e)\,} és un subconjunt No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle E'\,} de No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle E\,} que verifica

1. No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \forall (x,y)\in (E')^2\, (x \in E'\, i\, y \in E') \Rightarrow (x\star y \in E')} (estabilitat)
2. No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle e \in E'\,}

Exemples

• Monoide xinès.
• El conjunt dels naturals, amb l'addició, és un monoide, en què 0 és l'element neutre.
• El conjunt dels naturals, amb la multiplicació, és un monoide, d'element neutre 1, que no és simplificable, ja que No s'ha pogut entendre (MathML si és possible (experimental): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle (\forall (n,m), 0\cdot n=0\cdot m\,)} .
• El conjunt dels naturals múltiples de n per un n fixat, amb l'addició, és un monoide d'element neutre 0.
• El conjunt de les paraules formades sobre un alfabet, dotat de concatenació, és un monoide que s'anomena monoide lliure, en què la paraula muda és l'element neutre.
• El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la unió de conjunts, és un monoide, en què el conjunt buit és l'element neutre.
• El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la intersecció de conjunts, és també un monoide, en què l'element neutre és el conjunt total.

Vegeu també

• Grup, monoide amb element invers.
• Semigrup, monoide sense element neutre.

Bibliografia

• Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). Paris: Hermann, 1970. 
• Weisstein, Eric W. «Monoid» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. [Consulta: 27 novembre 2013].
• Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963.