Isomorfisme musical

A matemàtiques, el isomorfisme musical és un isomorfisme entre el fibrat tangent $TM$ i el fibrat cotangent $T^{*}M$ d'una varietat riemanniana, que ve induït per la seva mètrica.

Introducció

Una mètrica g en una varietat riemanniana M és un camp tensorial $g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)$ que és simètric, no degenerat i definit positiu. En fixar un dels dos paràmetres com un vector $v_{p}\in T_{p}M$, s'obté un isomorfisme de espais vectorials:

${\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M$

definit per:

${\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)$

és a dir,

$\langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})$

Globalment,

${\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M$

és un difeomorfisme.

Motivació per al nom

L'isomorfisme ${\hat {g}}$ i la seva inversa ${\hat {g}}^{-1}$ s'anomenen isomorfismes musicals perquè pugen i baixen els índexs dels vectors. Per exemple, un vector de TM s'escriu com $\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ i un covector com $\alpha _{i}dx^{i}$, així que l'índex i puja i baixa en $\alpha$ de la mateixa manera que els símbols sostingut ($\sharp$) i bemoll ($\flat$) pugen i baixen un semitò.

Gradient

Els isomorfismes musicals es poden utilitzar per definir el gradient d'una funció diferenciable sobre una varietat riemanniana M com a:

$\nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }$

Vegeu també

• Llei de pujar o baixar índexs (tensors)