Isomorfisme musical

A matemàtiques, el isomorfisme musical és un isomorfisme entre el fibrat tangent i el fibrat cotangent d'una varietat riemanniana, que ve induït per la seva mètrica.

IntroduccióModifica

Una mètrica g en una varietat riemanniana M és un camp tensorial   que és simètric, no degenerat i definit positiu. En fixar un dels dos paràmetres com un vector  , s'obté un isomorfisme de espais vectorials:

 

definit per:

 

és a dir,

 

Globalment,

 

és un difeomorfisme.

Motivació per al nomModifica

L'isomorfisme   i la seva inversa   s'anomenen isomorfismes musicals perquè pugen i baixen els índexs dels vectors. Per exemple, un vector de TM s'escriu com   i un covector com  , així que l'índex i puja i baixa en   de la mateixa manera que els símbols sostingut ( ) i bemoll ( ) pugen i baixen un semitò.

GradientModifica

Els isomorfismes musicals es poden utilitzar per definir el gradient d'una funció diferenciable sobre una varietat riemanniana M com a:

 

Vegeu tambéModifica