Forma quadràtica definida

(S'ha redirigit des de: Positiu definit)

En matemàtiques, i més particularmentment en àlgebra lineal, una forma quadràtica definida és una forma quadràtica definida sobre el cos dels nombres reals que satisfà una propietat de positivitat o negativitat; es parla aleshores de forma quadràtica definida positiva o de forma quadràtica definida negativa, respectivament. El mateix concepte s'aplica a les matrius simètriques amb coeficients reals. En el cas de coeficients complexos hi ha un concepte anàleg per a les formes hermítiques.

Definició per a formes quadràtiques i formes hermítiquesModifica

Sigui   un espai vectorial real o complex,   una forma bilineal simètrica, o bé   una forma hermítica. Denotem-la per  . Recordem que en el cas real g defineix una forma quadràtica per Q(v)=(v|v), i que en el cas hermític sempre es compleix que   és real. Es diu que g, o la forma quadràtica Q, és:

definida positiva si, per a tot v diferent de zero,  
semidefinida positiva si, per a tot v,  
definida negativa si, per a tot v diferent de zero,  
semidefinida negativa si, per a tot v,  
indefinida si no és semidefinida

Observem doncs que la forma és indefinida sii hi ha un u tal que   i un v tal que  . L'única forma que és alhora semidefinida positiva i semidefinida negativa és la forma nul·la.

Una forma definida positiva es diu producte escalar. Per exemple producte escalar estàndard sobre   (o  ) és definit positiu.

Definició per a matrius simètriques i matrius hermítiquesModifica

Cada matriu A quadrada simètrica amb coeficients reals (o matriu hermítica amb coeficients complexos) defineix una forma bilineal simètrica sobre   (o bé una forma hermítica sobre  ). En qualsevol dels casos es diu que la matriu és definida positiva, etc., si ho és la forma corresponent. Així doncs, en el cas real, A es diu:

definida positiva si, per a tot x diferent de zero,  
semidefinida positiva si, per a tot x,  
definida negativa si, per a tot x diferent de zero,  
semidefinida negativa si, per a tot x,  
indefinida si no és semidefinida

on x és un vector columna arbitrari.

En el cas complex les expressions anteriors canvien lleugerament: en lloc del vector fila transposat   cal posar el vector fila adjunt (transposat i conjugat),  .

Criteris de definició per a matrius simètriques i matrius hermítiquesModifica

Valors propisModifica

Una matriu quadrada simètrica (o bé hermítica) és:

definida positiva si tots els seus valors propis són estrictament positius;
semidefinida positiva si tots els valors propis són més grans o iguals que zero;
definida negativa si tots els seus valors propis són estrictament negatius;
semidefinida negativa si tots els valors propis són més petits o iguals que zero;
indefinida si té valors propis estrictament positius i estrictament negatius.

En principi, doncs, caldria calcular (o estimar) els valors propis de la matriu. Tanmateix, és suficient conèixer el signe d'aquests vectors propis, problema més fàcilment resoluble.

Menors principalsModifica

Una matriu simètrica (o hermítica)   és definida positiva sii tots els seus menors principals dominants són estrictament positius. Anàlogament, com que   és definida negativa sii   és definida positiva, resulta que   és definida negativa sii aquests menors es van alternant de signe (els d'ordre imparell són negatius i els d'ordre parell positius). Més detalladament:

Sigui   una matriu simètrica real, o una matriu hermítica complexa. Considerem els menors principals dominants de A:

 

Llavors

  • A és definida positiva sii   per a  .
  • A és definida negativa sii   per a  .

Observacions

  • Per a matrius semidefinides no hi ha criteri de menors principals.[1]
  • Aquest criteri rep el nom de criteri de Sylvester. A vegades també s'anomena criteri de Hurwitz.

Mètode d'eliminació de GaussModifica

Una matriu quadrada simètrica real   és definida positiva quan s'hi pot aplicar el mètode de reducció de Gauss sense canvis de línia, amb pivots positius.

Factorització de CholeskyModifica

Una matriu simètrica   és definida positiva quan se'n pot fer una factorització de Cholesky   amb   matriu triangular inferior invertible.

Matrius amb diagonal dominantModifica

Una matriu   simètrica, amb diagonal estrictament dominant, i amb tots els elements diagonals positius, és definida positiva.[2]

El recíproc és fals. La matriu següent és definida positiva però no amb diagonal dominant:

 

ImportànciaModifica

  • La restricció d'una forma definida positiva a un subespai és encara definida positiva, i en particular no degenerada. Aquest fet permet descompondre l'espai en suma directa d'un subespai i el seu complement ortogonal.
  • El caràcter definit d'una forma quadratica té un paper fonamental en l'estudi i classificació dels punts crítics d'una funció  , és a dir, en el càlcul d'extrems.

ReferènciesModifica

  1. IEEE: On Sylvester's criterion for positive-semidefinite matrices, Trans. Automatic Control, 1973 (anglès)
  2. Spezielle Matrixeigenschaften, Richard Reiner, 9126720, Gruppe: Next Generation (alemany)