Complement ortogonal

concepte matemàtic

En els camps matemàtics de l'àlgebra lineal i l'anàlisi funcional, el complement ortogonal d'un subespai W d'un espai vectorial V equipat amb una forma bilineal B és el conjunt W de tots els vectors de V que són ortogonals a tot vector de W. És un subespai de V.

Formes bilineals generalsModifica

Sigui   un espai vectorial sobre un cos   equipat amb una forma bilineal  . Hom diu que   és ortogonal per l'esquerra a  , i que   és ortogonal per la dreta a  , quan  . Per a un subconjunt   de   es defineix el complement ortogonal per l'esquerra   com

 

Existeix una definició anàloga per al complement ortogonal per la dreta. Donada una forma bilineal reflexiva, on   implica   per a qualssevol   i   de  , els complements ortogonals per l'esquerra i per la dreta coincideixen. Aquest és el cas si   és una forma bilineal simètrica o una forma bilineal alternada.

La definició es pot ampliar al cas d'una forma bilineal sobre un mòdul lliure sobre un anell commutatiu, i al cas d'una forma sesquilineal estesa per incloure qualsevol mòdul lliure sobre un anell commutatiu amb conjugació.[1]

PropietatsModifica

  • Un complement ortogonal és un subespai de  .
  • Si  , llavors  .
  • El radical   de   és un subespai de tot complement ortogonal.
  •  .
  • Si   és no degenerada i   és de dimensió finita, llavors  .

Espais prehilbertiansModifica

Aquesta secció considera els complements ortogonals en el cas d'espais prehilbertians.[2]

PropietatsModifica

El complement ortogonal sempre és tancat en la topologia mètrica. En espais de dimensió finita, això és només una conseqüència del fet que tots els subespais d'espai vectorial són tancats. En espais de Hilbert de dimensió infinita, alguns subespais no són tancats, però tots els complements ortogonals són tancats. En aquest tipus d'espais, el complement ortogonal del complement ortogonal de   és la clausura de  , és a dir,

 .

A continuació s'enumeren altres propietats: sigui   un espai de Hilbert, i siguin   i   els seus subespais lineals. Llavors:

  •  
  • si  , llavors  
  •  
  •  
  • si   és un subespai vectorial tancat de  , llavors  
  • si   és un subespai vectorial tancat de  , llavors  , la suma directa.

Enl complement ortogonal es pot generalitzar al concepte d'anul·lador, i proporciona una connexió de Galois sobre subconjunts de l'espai prehilbertià, on l'operador clausura associat és la clausura topològica del subespai generat.

Dimensió finitaModifica

Per a un espai prehilbertià de dimensió finita n, el complement ortogonal d'un subespai de dimensió k és un subespai de dimensió (nk), i el complement ortogonal del complement ortogonal d'un subespai és el mateix subespai:

(W) = W.

Si A és una matriu de dimensió m × n, i denotem per F(A), C(A) i Ker A l'espai de files, l'espai de columnes i el nucli de A (respectivament), tenim

(F(A)) = Ker A
(C(A)) = Ker AT.

Espais de BanachModifica

Existeix una analogia natural d'aquest concepte per al cas d'espais de Banach. En aquest cas, es defineix el complement ortogonal de W com un subespai del dual de V; en concret:

 

Sempre és un subespai tancat de V. També existeix l'anàleg per al complement del complement. Ara, W⊥⊥ és un subespai de V∗∗ (que no és idèntic a V). Tanmateix, els espais reflexius tenen un isomorfisme natural i entre V i V∗∗. En tal cas, es té

 

Això és una conseqüència immediata del teorema de Hahn-Banach.

AplicacionsModifica

En relativitat especial, el complement ortogonal s'utilitza per determinar l'hiperplà simultani en un punt d'una línia d'univers. La forma bilineal η emprada en l'espai de Minkowski determina un espai pseudoeuclidià d'esdeveniments. L'origen i tots els esdeveniments sobre el con de llum són autoortogonals. Quan la forma bilineal aplicada sobre un esdeveniment de temps i un esdeveniment d'espai dóna com a resultat 0, llavors són hiperbòlicament ortogonals. Aquesta terminologia prové de l'ús de dues hipèrboles en l'espai pseudoeuclidià: els diàmetres conjugats d'aquestes hipèrboles són hiperbòlicament ortogonals.

ReferènciesModifica

BibliografiaModifica