Clausura topològica

(S'ha redirigit des de: Clausura (topologia))

En un espai topològic , la clausura o adherència d'un subconjunt és el conjunt:

on és el símbol d'un veïnat de x. Per tant, un punt de pertany a la clausura d'un subconjunt si tot entorn del punt interseca el subconjunt. En este cas, es tracta d'un punt adherent de .

Per a denotar l'adherència d'un subconjunt , són d'ús comú les notacions , i .

Propietats

modifica

Per a un espai topològic   i un subconjunt  , la clausura   satisfà les següents propietats:

  •  .
  •   és un conjunt tancat.
  • Si   és un conjunt tancat tal que  , aleshores  .
  •   és tancat si i només si  .
  • Si  , aleshores  .
  • La clausura és idempotent:  .
  •  .
  •  .

Exemples

modifica
  • Per a qualsevol espai topològic,   i  .
  • Amb la mètrica usual en  ,  .
  • Els nombres racionals i els irracionals són densos en  :  .
  • En un espai topològic discret,  .
  • En la topologia trivial,   si  .
  • En els espais de Hausdorff i en la topologia cofinita, si   és finit,  .

Vegeu també

modifica