Obre el menú principal

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si i són espais vectorials i és una base de , una aplicació informa quant a quina és la imatge de cada element de la base de i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme de manera que si és la injecció natural, el següent diagrama

Diagrama

és commutatiu. La definició del -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

DefinicióModifica

Siguin   un anell commutatiu amb unitat i   un conjunt. El  -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors  , denotat  , és l'únic  -mòdul proveït d'una aplicació   que compleix que, per qualsevol altre  -mòdul   i qualsevol aplicació  , hi ha un únic homomorfisme de mòduls,   que fa que el següent diagrama

 

sigui commutatiu, això és, que  .

UnicitatModifica

Comencem per veure que, si   és un homomorfisme de mòduls que fa  , aleshores   és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

 

la commutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a   del diagrama de l'esquerra obliga que  .

Sigui ara   un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors  . Tenim els següents diagrames commutatius:

 

o sigui,

 

que, per substitució, dóna

 

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

 

i, per tant,   i   són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures,   i   són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions   i  : tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

Generadors. BasesModifica

El conjunt   genera el mòdul lliure  , això és, qualsevol submòdul   que contingui   és exactament igual a  . A més, el conjunt   és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions

 

i la projecció canònica  . Aleshores, els dos diagrames

 

són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta  , és a dir, que la projecció canònica és nul·la i, per tant, que  .

La independència lineal dels elements de   es pot establir així: per a un element determinat  , considerem l'aplicació

 

 

En considerar l'anell   com a  -mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure   que fa  . Prenem ara qualsevol suma finita

 

Tenim:

 

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex  , resulta que   i la independència lineal queda demostrada. Aleshores,   és una base del mòdul lliure  .

Inversament, tot  -mòdul   proveït d'una base  , és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

 

 

i ara, si   és un altre  -mòdul i   és una aplicació qualsevol de   a  , l'aplicació

 

 

és, trivialment, un homomorfisme de   a   i el següent diagrama

 

és commutatiu.

En particular, si l'anell   és un cos, aleshores   és un espai vectorial sobre   i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre  -mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

A-mòduls lliures de generació finitaModifica

Si   és un conjunt finit, el  -mòdul lliure   es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt  , de   elements, pel conjunt finit

 

Aleshores,   se sol denotar per  , tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt   no és altra cosa que el producte directe de   exemplars de l'anell  , els elements en són  -tuples d'elements de l'anell, amb la suma de  -tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

MatriusModifica

Si   és l' -mòdul lliure amb generadors  , i   és un altre mòdul lliure, una aplicació   determina un únic homomorfisme   entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació   se sol fer mitjançant una matriu de   files i   columnes,

 

d'elements de l'anell   de manera que la columna   conté l'expressió de   en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime   de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius   d'elements de l'anell   és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de   a  .

ExistènciaModifica

Construirem ara efectivament el  -mòdul lliure sobre un conjunt de generadors  . El conjunt   és el conjunt de totes les funcions   que prenen el valor   excepte en un nombre finit d'elements de  . Clarament, les operacions

 

fan de   un  -mòdul.

Però l'aplicació   definida per

 

fa de   el  -mòdul lliure sobre un conjunt de generadors  . En efecte, sigui   una aplicació del conjunt   sobre un cert  -mòdul  . L'aplicació

 

 

és un morfisme d' -mòduls perquè

 

 

i, si   és un altre morfisme que fa  , aleshores, per a  , com que   genera  ,

 

i

 

i, per tant,  . En conseqüència, el  -mòdul   així construït és el  -mòdul lliure generat pel conjunt  .

ReferènciesModifica