Lleis de De Morgan

Les lleis de De Morgan són una part de la lògica proposicional i analítica, i va ser creada per Augustus De Morgan (Madurai, 1806 - Londres, 1871).

Representació gràfica de les lleis de De Morgan

Història

Les lleis porten el nom d’Augustus De Morgan (1806–1871), que va introduir una versió formal de les lleis a la lògica proposicional clàssica. La formulació de De Morgan va estar influenciada per l’algebraització de la lògica empresa per George Boole, que posteriorment va consolidar la pretensió de De Morgan a la troballa. Tot i això, Aristòtil va fer una observació similar, que era coneguda pels lògics grecs i medievals. Per exemple, al segle XIV, Guillem d'Ockham va escriure les paraules que resultarien llegint les lleis. Jean Buridan, a la seva Summulae de Dialectica, també descriu les regles de conversió que segueixen les línies de les lleis de De Morgan. Tot i així, a De Morgan se li dona el mèrit d’enunciar les lleis en els termes de la lògica formal moderna i d’incorporar-les al llenguatge de la lògica. Les lleis de De Morgan es poden demostrar fàcilment i fins i tot poden semblar trivials. Tanmateix, aquestes lleis són útils per fer inferències vàlides en proves i arguments deductius.

Les lleis de De Morgan

Les lleis de De Morgan declaren que la suma de n variables globalment negades (o invertides) és igual al producte de les n variables negades individualment, i que inversament, el producte de n variables globalment negades és igual a la suma de les n variables negades individualment.

$\lnot (A\cup B)\leftrightarrow (\lnot A)\cap (\lnot B)$

$\lnot (A\cap B)\leftrightarrow (\lnot A)\cup (\lnot B)$

Prova

Cal utilitzar les taules de valors de veritat,

$\lnot (A\cup B)\leftrightarrow (\lnot A)\cap (\lnot B)$
$A$	$B$	$A\cup B$	$\lnot (A\cup B)$	$\lnot A$	$\lnot B$	$(\lnot A)\cap (\lnot B)$
V	V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V

Demostració formal

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ si i només si ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ i ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$.

per a qualsevol x:

$\subseteq$ inclusió:

$x\in {\overline {A\cap B}}$

$x\notin {A\cap B}$

$x\notin A$ o $x\notin B$

$x\in {\overline {A}}$ o $x\in {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

Per tant ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$\supseteq$ inclusió:

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}$ o $x\in {\overline {B}}$

$x\notin A$ o $x\notin B$

$x\notin {A\cap B}$

$x\in {\overline {A\cap B}}$

Per tant ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ i ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ per tant ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ Q.E.D.

per ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ es pot utilitzar un mètode similar.

Amb proposicions

La prova utilitza l'associativitat i la distributivitat de les lleis $\cap$ i $\cup$.

• Veritat
• Si veritat per n

$\lnot (a_{1}\cap a_{2}\cap ...\cap A_{n}\cap A_{n+1})$

$\leftrightarrow \lnot ((a_{1}\cap a_{2}\cap ...\cap A_{n})\cap A_{n+1})$

$\leftrightarrow (\lnot (a_{1}\cap a_{2}\cap ...\cap A_{n}))\cup (\lnot A_{n+1})$

$\leftrightarrow (\lnot a_{1})\cup (\lnot a_{2})\cup ...\Cup (\lnot A_{n})\cup (\lnot A_{n+1})$

Vegeu també

• Lògica algebraica