Mesura POVM

En el camp de la ciència de la informació quàntica una mesura POVM (de l'anglès Posivitive Operator-Valued Measure: Mesura d'Operadors amb valors Positius) és un tipus de mesura quàntica definida com un conjunt d'n operadors semi-definits positius sobre un espai de Hilbert de dimensió d, on n no és necessàriament igual a d. D'aquesta manera representen una extensió de la mesura projectiva (PVM) on els operadors han de ser projectors i per tant el nombre màxim d'operadors està fixat per la dimensió de l'espai.

Els POVM són necessaris per a explicar mesures més complexes, permetent la inclusió d'elements externs o la parametrització d'errors d'una mesura PVM.

Definicó

Una mesura POVM es determina completament donant un conjunt d'operadors semi-definits positius ${\mathcal {M}}=\{\Pi _{j}\}_{j=1}^{n}$ que sumen la identitat, $\sum _{j=1}^{n}\Pi _{j}=\mathbb {I}$, és a dir, la mesura és tancada.

Una segona definició de mesura POVM és la donada en termes de operadors de Kraus. Així, n operadors de hermítics $\{K_{j}\}_{j=1}^{n}$ defineixen una mesura POVM si $\sum _{j=1}^{n}K_{j}^{\dagger }K_{j}=\mathbb {I}$.

La relació entre les dues definicions no és bijectiva, donats uns operadors de Kraus, podem definir una única mesura POVM utilitzant la relació $\Pi _{j}=K_{j}^{\dagger }K_{j}$, però donada una mesura POVM, existeixen infinits operadors de Kraus que porten a ella. El conjunt d'operadors de Kraus que defineixen la mateixa mesura POVM és $\{K_{j}=U{\sqrt {\Pi _{j}}}\mid \forall U{\text{ unitaria}}\}$, això es deu al fet que $U^{\dagger }U=\mathbb {I} \Rightarrow K_{j}^{\dagger }K_{j}=({\sqrt {\Pi _{j}}})^{\dagger }U^{\dagger }U{\sqrt {\Pi _{j}}}=({\sqrt {\Pi _{j}}})^{\dagger }{\sqrt {\Pi _{j}}}=\Pi _{j}$. La descomposoció fonamental és la que te $U=\mathbb {I}$, és a dir, $K_{j}={\sqrt {\Pi _{j}}}$.

Així, donat un estat quàntic $\rho$, la probabilitat d'obtenir el resultat $j$ és

$$P[{\mathcal {M}}=j\mid \rho ]=\mathrm {tr} (\Pi _{j}\rho )=\mathrm {tr} (K_{j}\rho K_{j}^{\dagger })$$

on tr és la traça de la matriu. En cas que l'estat a mesurar sigui pur, $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$, l'expressió anterior es pot simplificar per

$$P[{\mathcal {M}}=j\mid \psi ]=\langle \psi |\Pi _{j}|\psi \rangle =||K_{j}|\psi \rangle ||^{2}$$

on $||\bullet ||$ és la norma d'un vector.

Si a més volem conèixer l'estat post-mesura, necessitem saber els operadros de Kraus que definien el POVM. L'estat post-mesura un cop obtingut el resultat j ve determinar per

$$\rho _{j}={\frac {K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }}{\sqrt {P[{\mathcal {M}}=j\mid \rho ]}}}$$

o en cas d'un estat pur per

$$\rho _{j}={\frac {K_{j}|\psi \rangle }{\sqrt {P[{\mathcal {M}}=j\mid \psi ]}}}$$

Clarament veiem com l'elecció de la unitària U afecta l'estat post-mesura però no la probabilitat.

Una de les característiques principals de les mesures POVM és que la posterior mesura de l'estat $\rho _{j}$ no ha de donar necessàriament el resultat j ja que els operadors no són ortogonals. Així, la probabilitat d'obtenir el resultat i donat j és

$$P[{\mathcal {M}}=i|\rho _{j}]={\frac {\mathrm {tr} (K_{i}K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }K_{i}^{\dagger })}{\sqrt {P[{\mathcal {M}}=j\mid \rho ]}}}$$

que pot ser diferent a zero si $K_{i}K_{j}\neq 0$. Per contra, en una mesura PVM, la probabilitat d'obtenir aquest resultat és sempre 0 ja que els operadors són ortogonals.