Nombre pentatòpic

Un nombre pentatòpic és un nombre de la cinquena diagonal del triangle de Pascal. Els primers nombres d'aquesta casta són 1, 5, 15, 35, 70, i 126.

Un pentatop amb 70 esferes. Cada nivell representa un dels 5 primers nombres tetraèdrics. Per exemple, el nivell verd té 35 esferes en total.

Els nombres pentatòpics són nombres figurats. Es poden representar en dimensió 4 mitjançant un politop constituït d'un empilament de tetràedres regulars.

El nombre pentatòpic de rang n és la suma dels n primers nombres tetraèdrics

$P_{4}(n)=\sum _{k=1}^{n}P_{3}(n)=\sum _{k=1}^{n}{n+2 \choose 3}$

Hom n'obté, doncs, la fórmula

$P_{4}(n)={n+3 \choose 4}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$

La suma infinita dels recíprocs de tots els nombres pentatòpics és $4/3$. Això es pot deduir fent servir sèries telescòpiques.

$\!\ \sum _{n=0}^{\infty }{4! \over {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}={4 \over 3}$