Triangle de Tartaglia

(S'ha redirigit des de: Triangle de Pascal)

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.[1]

Cada nombre del triangle és la suma de les dues xifres superiors.

Mètode de construccióModifica

Es comença amb un 1.

 1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

  1
 1 1

A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.[2]

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5    10     10    5     1
                      1     6    15    20    15     6     1
                   1     7    21    35     35   21     7     1
                1     8    28    56    70    56    28     8     1
             1     9    36    84   126    126   84    36     9     1
          1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1

PropietatsModifica

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

  • En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dona una potència de 2:  . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:[3]

 

  • En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dona la relació següent:

   

El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors  . En el triangle, podem buscar el coeficient binomial   del desenvolupament de   de la manera següent:

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient   és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

 

 

 

 

 
Triangle de Pascal amb una alçada de 512. Al pintar els nombres segons si són senars (blau) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski.
  • Les fileres de cada triangle no són simètriques, ja que:  
  • Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski.
  • Diagonals:
  • La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.

HistòriaModifica

L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular.[8] Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.[4][9][10]

BibliografiaModifica

  • Paulos, John Allen. Más allá de los números: meditaciones de un matemático. 1. ed.. Barcelona: Tusquets, 1993. ISBN 84-7223-687-0. 
  • Weisstein, Eric W. Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 1999, p. 636. ISBN 0-8493-9640-9. 
  • Beyer, William H. Standard Mathematical Tables and Formulae. 29a ed. CRC Press, p. 279. ISBN 0-8493-0629-9. 

ReferènciesModifica

  1. Pascal's Triangle. MathWorld (anglès)
  2. «Leibniz and Pascal Triangles». [Consulta: 17 febrer 2022].
  3. 3,0 3,1 Paulos, 1993, p. 287.
  4. 4,0 4,1 Paulos, 1993, p. 284.
  5. «All You Ever Wanted to Know About Pascal's Triangle and more». [Consulta: 20 febrer 2022].
  6. Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 272. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «Las hileras diagonales, paralelas a los lados de la figura, dan los números triangulares y sus equivalentes en espacios de cualquier número de dimensiones.» 
  7. Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 273. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «La tercera diagonal contiene los números tetraédricos: cardinales de conjuntos de puntos que forman disposiciones tetraédricas en el espacio tridimensional.» 
  8. Katz, V. J.. «Binomial Theorem and the Pascal Triangle». A: A History Of Mathematics: An Introduction. UniSA, 1992. 
  9. Fox, Peter. Cambridge University Library: The great collections, 1998, p. 13. ISBN 978-0-521-62647-7. 
  10. Maor, Eli. The Story of a Number. 1994: Princeton University Press, p. 71. ISBN 0-691-05854-7. 

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Triangle de Tartaglia