Obre el menú principal

En matemàtiques, un coeficient binomial[1] és qualsevol dels coeficients dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, és a dir del desenvolupament de . El coeficient del terme -èsim d'aquest polinomi, quan és el grau del polinomi, s'escriu , que es llegeix com " sobre ". Per tant

 

 

 

 

(1)

El seu valor és

on significa el factorial de . També podem escriure

Els coeficients binomials poden ordenar-se formant el Triangle de Pascal.

Si es disposen aquests coeficients binomials en files centrades per successius valors de , començant per i de manera que en aquestes files els valors de variïn entre i , s'obté l'anomenat Triangle de Pascal (o Tiriangle de Tartaglia, o Triangle Aritmètic), que pot generar-se recursivament de manera molt senzilla, ja que cada coeficient és la suma dels dos que te a sobre.

Interpretació combinatòriaModifica

Des del punt de vista combinatori el coeficient binomial es pot entendre com el nombre de formes en què es poden escollir   objectes entre un conjunt de   sense tenir en compte l'ordre. Per veure-ho només cal fixar-se que a l'expressió

 

el numerador dóna el nombre de possibilitats d'escollir   objectes entre un total de  . El primer es pot escollir de   formes, en tenir   objectes per agafar. Un cop escollit el primer, només en queden   i per tant el segon es pot escollir de   maneres. Com que per cada possibilitat d'escollir el primer hi ha   formes d'escollir el segon, en total per als dos primers n'hi ha   i així successivament fins a  . Però en escollir les formes d'aquesta manera s'han considerat diferents les col·leccions triades en diferent ordre. Com que per cada conjunt de   objectes hi ha   formes d'ordenar-los, cal dividir aquest numerador entre   I així s'obté la quantitat de conjunts diferents, sense importar l'ordre en què s'han triat.

Per aquesta raó el nombre   , que nosaltres llegim com "  sobre  ", es llegeix en anglès com "  choose  ".

ExempleModifica

 

El mateix valor s'obté mirant a la fila   en el lloc   al triangle de Pascal.

Historia i notacióModifica

Andreas von Ettingshausen va introduir la notació   el 1826,[2] encara que els nombres ja eren coneguts des de centenars d'anys abans (veure Triangle de Pascal). La primera discussió detallada dels coeficients binomials de la que es té notícia és del segle deu i és el comentari, per Halayudha, sobre un antic text Sànscrit, el Chandaḥśāstra, de Pingala. Al voltant del 1150, el matemàtic indi Bhaskaracharya va donar una exposició dels coeficients binomials en el seu llibre Līlāvatī.[3]

Notacions alternatives també utilitzades poden ser C(n, k), nCk, nCk, Ckn, Cnk, i Cn,k. En totes elles la lletra C prové de combinacions o choices (eleccions). Diverses calculadores electròniques utilitzen variants de les notacions basaces en la C, perquè així poden representar-se en una única línia de text. En aquesta forma, els coeficients binomials es comparen fàcilment amb altres nombres combinatoris com les k-permutacions de n elements, P(n,k). Els coeficients binomils apareixen en moltes àrees de les matemàtiques, especialment en combinatòria.

La fórmula multiplicativa i les generalitzacions dels coeficients binomialsModifica

Una forma prou eficient per a calcular el valor de   sense usar ni la fórmula recursiva del Triangle de Pascal ni els nombres factorials és l'anomenada formula multiplicativa:

 

que es recorda fàcilment perquè hi ha k factors al numerador i k factors al denominador. Però s'ha de recordar que el producte de k=0 factors s'entén que dona 1. Aquesta forma permet que la definició dels coeficients binomials s'estengui substituint n per un nombre arbitrari α (també negatiu, real o complex):

 

Amb aquesta definició val la generalització següent de la fórmula del binomi (amb una de les variables amb valor 1), que dona encara més raons perquè els nombres   siguin anomenats coeficients binomials:

 

 

 

 

 

(2)

Aquesta fórmula és vàlida per a tots els nombres complexos α i X amb |X| < 1. Si α és un sencer no negatiu n, aleshores tots els termes amb k > n són zero, la sèrie infinita esdevé una suma finita, i es recupera la fórmula binomial.

La regla de Pascal és la important relació de recurrència

 

 

 

 

 

(3)

que pot ser usada, per exemple, per demostrar, usant inducció matemàtica, que   és un nombre natural per tot n i tot k, un fet que no és immediatament obvi a partir de la fórmula (1). També és molt important la identitat de simetria

 ,

que és vàlida per a qualssevol sencers no negatius   i   amb  .

Combinatòria i estadísticaModifica

Els coeficients binomials son importants en combinatòra, perquè donen lloc a formes breus d'expressar el resultats de problemes freqüents de comptage (veure Combinatòria):

  • Hi ha   maneres d'escollir k elements d'un conjunt de n elements.
  • Hi ha   maneres d'escolllir k elements d'un conjunt de n elements si s'admenten repeticions (veure Multiconjunt).
  • Hi ha   cadenes de caràcters que continguin k uns i n zeros (veure Cadena (informàtica)).
  • Hi ha   cadenes de caràcters que consisteixin en k uns i n zeros de manera que no hi hagi dos uns adjacents.[4]
  • Els nombres de Catalan son  
  • La distribució binomial en estadística és  

Els coeficients binomials com a polinomisModifica

Per a cada índex enter no negatiu k, l'expressió   pot ser simplificada i vista com un polinomi en la variable t de grau k i amb coeficients racionals:

 

Per a cada k, el polinomi   pot ser caracteritzat com l'únic polinomi p(t) de grau k, que satisfà p(0) = p(1) = ... = p(k − 1) = 0 i p(k) = 1. Els seus coeficients poden expressar-se en termes dels nombres de Strirling de primera classe:

 

La derivada de   pot ser calculada usant la derivada logarítmica (veure regles de derivació):

 
Qualsevol polinomi q(t) de grau menor o igual que d pot expressar-se de manera única com una combinació lineal   de polinomis que son coeficients binomials. El coeficient ak és precisament la k-èssima diferència de la successió q(0), q(1), …, q(k). Explícitament,

 

 

 

 

 

(4)

Qualsevol polinomi   és a valors sencers: pren valors sencers sobre tots els valors sencers de la variables  .

(Una manera de demostrar-ho és per inducció sobre k, usant la regla de Pascal). Per tant, tota combinació lineal de polinomis   és també un polinomi a valors sencers. Recíprocament, (4) mostra que tot polinomi a valors sencers és una combinació lineal d'aquests polinomis  .

Més generalment, per a qualsevol subanell R d'un cos K de característica 0, un polinomi de K[t] pren valors a R sobre tots els sencers si i sols si és una combinació lineal a coeficients a R de polinomis que siguin coeficients binomials.

Per exemple, el polinomi a valors sencers 3t(3t + 1)/2 pot ser reescrit com  

Identitats que involucren coeficients binomialsModifica

- La fórmula factorial facilita relacionar coeficients binomials propers. Per exemple, si k és un enter positiu i n és arbitrari, aleshores

 

- I, amb una mica més de feina,

 
- També la identitat següent pot ser útil:
 

- Mantenint n constant, tenim la següent recurrència:

 

- La fórmula

 

s'obté a partir de (1) posant x = 1 i y = 1.

- Les fórmules

 

i

 

es dedueixen de (2) derivant respecte de X (una i dues vegades, respectivament) i després substituint X = 1.

- La identitat anomenada de Chu-Vandermonde, que val per a qualssevol valors complexos   i   i qualsevol sencer no negatiu k, és

 

i pot ser provada examinant el coeficient de   a l'expansió de (1 + x) (1 + x)n − m = (1 + x)n usant l'equació (2).

- Si F(n) denota el n-èssim nombre de Fibonacci, aleshores tenim la igualtat

 

on   significa el més gran sencer que és menor o igual que  . Aquesta identitat pot ser provada per inducció usant (3).

- La relació entre els coeficients binomials i certes integrals trigonomètriques dona lloc a les igualtats següents, per   :

 ,
 , si   és senar (quan   és parell la integral dona zero),
 , si   és parell (quan   és senar la integral dona zero).
Poden demostrar-se usant la fórmula d'Euler per a convertir les funcions trigonomètriques en exponencials complexes, expandint usant del binomi de Newton i integrant terme a terme.

NotesModifica

  1. Mathematics Handbook for Science and Engineering | Lennart Rade | Springer (en en). 
  2. Higham (1998)
  3. Lilavati Secció 6, Capítol 4 (veure Knuth (1997)).
  4. Muir, Thomas «Note on Selected Combinations». Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1902.

ReferènciesModifica

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica