Piràmide de Pascal

La piràmide de Pascal és la generalització tridimensional del triangle de Pascal . Conté els coeficients multinomials de tercer ordre (coeficient trinomial), i. H. els coeficients de estan al nivell n +1. Com al triangle de Pascal, la piràmide de Pascal comença amb un sol 1 al nivell superior (la "part superior" de la piràmide ). Cada número addicional és la suma dels tres números que hi ha a sobre. Totes les propietats especials del triangle de Pascal (vegeu, per exemple, El triangle de B. Sierpinski, simetria) es pot aplicar de manera anàloga a la piràmide de Pascal.[1][2]

Els cinc primers nivells de la piràmide de Pascal

Construcció alternativaModifica

Els coeficients trinomials són donats per[3]

  Amb  

La identitat

 

suggereix la següent regla de construcció per al nivell ( n +1):

  • En primer lloc, formeu els tres costats del triangle. Corresponen a la recta (n + 1) del triangle de Pascal.
  • Ara empleneu la línia m amb les entrades de la línia m del triangle de Pascal, multiplicat pel factor ja introduït als costats..

Els primers set nivellsModifica

1er nivell

                     1

2ón nivell

                     1 

1 1

3er nivell

                     1 

2 2

1 2 1

4t nivell

                     1

3 3

3 6 3

1 3 3 1

5è nivell

                     1

4 4

6 12 6

4 12 12 4

1 4 6 4 1

6è nivell

                      1

5 5

10 20 10

10 30 30 10

5 20 30 20 5

1 5 10 10 5 1

7è nivell

                      1

6 6

15 30 15

20 60 60 20

15 60 90 60 15

6 30 60 60 30 6

1 6 15 20 15 6 1

PropietatsModifica

  • La suma de tots els números del nivell n és:  
  • La suma de tots els números del primer al novè nivell és:  

Connexió amb el tetraedre de SierpinskiModifica

Si el tetraedre de Pascal distingeix entre nombres parells i senars, hi ha una connexió amb el tetraedre de Sierpinski . Els nombres parells corresponen a les llacunes del tetraedre de Sierpinski. Haver de   Es tenen en compte els nivells   -è pas d'iteració en la construcció del tetraedre de Sierpinski.[2]

GeneralitzacióModifica

Es pot fer de manera anàloga   -Definir el Pascal simplex dimensional a partir dels altres coeficients multinomials.

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Staib, J.; Staib, L. «The Pascal Pyramid». The Mathematics Teacher, vol. 71, 6, 1978, pàg. 505–510. JSTOR: 27961325.
  2. 2,0 2,1 Sierpinski, Waclaw «Sur une courbe dont tout point est un point de ramification». Comp. Rend. Acad. Sci. [París], 160, 1915, pàg. 302-305.
  3. Pedersen, Jean; Hilton, Peter; Holton, Derek. Mathematical vistas : from a room with many windows. New York, NY [u.a.]: Springer, 2002. ISBN 978-0387950648. 

Enllaços externsModifica