Nombre poligonal

En matemàtiques, un nombre poligonal és un nombre representat com a punts o còdols arranjats en forma d'un polígon regular. Els punts en consideren alfes (unitats). Són un tipus de nombres figurats bidimensionals.

Definició i exemples

El nombre 10, per exemple, pot ser arranjat com a triangle (vegeu Nombre triangular):

Però 10 no pot ser arranjat com a quadrat. El nombre 9, d'altra banda, sí que pot ser-ho (vegeu quadrat perfecte):

Alguns nombres, com el 36, poden ser arranjats alhora com a quadrat i com a triangle (veu nombre triangular quadrat):

Per convenció, 1 és el primer nombre poligonal per qualsevol nombre de costats. La regla per ampliar el polígon a la mida següent és estendre dues branques adjacents en un punt assenyalen i llavors afegir els costats extres que calguin entre aquells punts. En els esquemes següents, cada capa extra és mostrada en vermell.

Nombres triangulars

Nombres quadrats

Polígons amb nombres més alts de costats, com pentàgons i hexàgons, també poden ser construïts segons aquesta regla, tot i que els punts ja no formaran a un enreixat perfectament regular li agrada damunt.

Nombres pentagonals

Nombres hexagonals

Fórmula

Si s és el nombre de costats en un polígon, la fórmula pel nè nombre s-gonal P(s,n) és

$P(s,n)={\frac {n^{2}(s-2)-n(s-4)}{2}}$

O

$P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n$

El nombre s-gonal nè és també relacionat amb els nombres triangulars T_n de la manera següent:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.$

Per tant:

$P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,$

$P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.$

Per a un nombre s-gonal donat P(s,n) = x, es pot trobar n per

$n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+(s-4)^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}.$

Cada nombre hexagonal és també un nombre triangular

Aplicant la fórmula anterior:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n$

Al cas de 6 costats dona:

$P(6,n)=4T_{n-1}+n$

Però com que:

$T_{n-1}=n(n-1)/2$

segueix que:

$P(6,n)=4n(n-1)/2+n=2n(2n-1)/2=T_{2n-1}$

Això mostra que el nombre hexagonal $n^{th}$, $P(6,n)$ és el $(2n-1)^{th}$ nombre triangular,$T_{2n-1}$ Podem trobar cada nombre hexagonal simplement agafant els nombres triangulars imparells:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Taula de valors

Els primers 6 valors en la columna de "Suma de Recíproques", per als nombres triangulars a octagonals, venen d'una solució publicada per al problema general, que també dona una fórmula general per qualsevol nombre de costats, en termes de la funció digamma.

s	Nom	Fórmula	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7	n = 8	n = 9	n = 10	Suma de Recíproques	Número OEIS
3	Triangular	½(n²+n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	${2}$	oeis:A000217
4	Quadrat	n² = ½(2n² - 0n)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	${\pi ^{2} \over 6}$	oeis:A000290
5	Pentagonal	½(3n² - n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	${3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}$	oeis:A000326
6	Hexagonal	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	${2\ln \left(2\right)}$	oeis:A000384
7	Heptagonal	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\end{matrix}}$	oeis:A000566
8	Octagonal	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	${{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}$	oeis:A000567
9	Nonagonal	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		oeis:A001106
10	Decagonal	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	${{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}$	oeis:A001107
11	Hendecagonal	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		oeis:A051682
12	Dodecagonal	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		oeis:A051624
13	Tridecagonal	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		oeis:A051865
14	Tetradecagonal	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	${{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}$	oeis:A051866
15	Pentadecagonal	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		oeis:A051867
16	Hexadecagonal	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		oeis:A051868
17	Heptadecagonal	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		oeis:A051869
18	Octadecagonal	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	${\begin{matrix}{\frac {4}{7}}\ln {\left(2\right)}\\-{\frac {\sqrt {2}}{14}}\ln \left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\+\pi {\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)}{14}}\end{matrix}}$	oeis:A051870
19	Enneadecagonal	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		oeis:A051871
20	Icosagonal	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		oeis:A051872
21	Icosihenagonal	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		oeis:A051873
22	Icosidigonal	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		oeis:A051874
23	Icositrigonal	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		oeis:A051875
24	Icositetragonal	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		oeis:A051876
25	Icosipentagonal	½(23n² - 21n)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045		oeis:A255184
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Miriagonal	½(9998n² - 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		oeis:A167149

La On-Line Encyclopedia of Integer Sequences evita els termes que utilitzen prefixos grecs (p. ex., "octagonal") a favor dels termes que utilitzen nombres (i.e., "8-gonal").

Una propietat d'aquesta taula pot ser expressada per la identitat següent (vegeu Un086270):

$2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),$

Amb

$k=0,1,2,3,...,s-3.$

Combinacions

Alguns nombres, com el 36, que és alhora quadrat i triangular, cauen en dos conjunts poligonals. El problema de determinar, donat dos conjunts d'aquests, tots els nombres que pertanyen a tots dos conjunts es pot solucionar reduint el problema a l'equació de Pell. L'exemple més senzill d'això és la seqüència de nombres triangulars quadrats.

La taula següent resumeix el conjunt de nombres s-gonals t-gonals per a valors petits de s i t.

s	t	Seqüencia	Nombre OEIS
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	oeis:A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	oeis:A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	oeis:A036353
6	3	Tots els nombres hexagonals també són triangulars.	oeis:A000384
6	4	Nombres triangulars quadrats imparells.	oeis:A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	oeis:A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	oeis:A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, …	oeis:A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	oeis:A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	oeis:A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	oeis:A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	oeis:A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	oeis:A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	oeis:A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	oeis:A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	oeis:A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, …	oeis:A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	oeis:A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	oeis:A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	oeis:A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	oeis:A048924
10	3	1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ...
10	4	1 i cap més.
11	4	1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ...
12	4	1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ...
13	4	1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ...
14	4	1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ...
15	4	1, 3025, 5997601, 165148201, ...
16	4	1, 16, 400, 4225, 101761, ...
18	4	1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...
22	4	1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...
28	4	1, 81, 3136, 30625, ...
30	4	1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...
32	4	1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...
40	4	1, 576, 123201, ...
44	4	1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...
50	4	1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...
64	4	1, 64, 625, 48400, 450241, ...
66	4	1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...
68	4	1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...
96	4	1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...
128	4	1, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...
132	4	1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...
140	4	1, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...
156	4	1, 18496, 288456256, ...

En alguns casos, com s=10 i t=4, no hi ha cap nombre en ambdós conjunts a part de la unitat.

El problema de trobar nombres que pertanyen a tres conjunts poligonals és més difícil. Una cerca informàtica de nombres triangulars quadrats pentagonals ha donat només el valor trivial d'1, però encara no s'ha editat cap demostració que no n'hi ha més.

El nombre 1225 és hecatonicositetragonal (s=124), hexacontagonal (s=60), icosienneagonal (s=29), hexagonal, quadrat, i triangular.

L'únic conjunt poligonal que és contingut en un altre conjunt poligonal és el conjunt de nombres hexagonals, que és contingut en el conjunt de nombres triangulars.

Vegeu també

• Nombre figurat
• Teorema del nombre poligonal de Fermat

Referències

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Llibres de Pingüí, 1997) ISBN 0-14-026149-4.
• Nombres poligonals a PlanetMath Arxivat 2016-02-20 a Wayback Machine.
• Weisstein, Eric W., «Polygonal Numbers» a MathWorld (en anglès).
• F. Tapson. The Oxford Mathematics Study Dictionary. 2nd. Oxford University Press, 1999, p. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9. 

Enllaços externs

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), " Michiel Hazewinkel (ed.). Polygonal number. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. "
• Polygonal Números: Cada nombre s-poligonal entre 1 i 1000 clicable per 2≤s≤337
• Nombre poligonal a YouTube
• Funció de comptatge de nombres poligonals: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853