Circumferència inscrita

La circumferència inscrita (o de vegades, el cercle inscrit o incercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que és tangent a tots els costats d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena incentre, i el seu radi s'anomena inradi. Un polígon que té una circumferència inscrita s'anomena polígon tangencial; tots els polígons regulars simples i tots els triangles són polígons tangencials.

Circumferències ${\mathfrak {I}}_{1}$ i ${\mathfrak {I}}_{2}$ inscrites als polígons ${\mathfrak {P}}_{1}$ i ${\mathfrak {P}}_{2}$ i incentres respectius $I_{1}$ i $I_{2}$

L'incentre d'un polígon tangencial equidista de tots els seus costats i, per tant, és la intersecció de les bisectrius dels angles d'aquest polígon.

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites en un triangle

Circumferència inscrita ${\mathfrak {I}}$ i circumferències exinscrites ${\mathfrak {E}}_{A}$, ${\mathfrak {E}}_{B}$ i ${\mathfrak {E}}_{C}$ al triangle $\triangle {ABC}$

Circumferència inscrita, incentre i inradi

Com que l'incentre $I$ d'un triangle $\triangle ABC$ equidista dels seus costats $a$, $b$ i $c$, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència ${\mathfrak {I}}$ amb centre a l'incentre $I$ i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incercle). El radi de la circumferència inscrita, $r$, és l'inradi.

Circumferències exinscrites, exincentres i exinradis

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles). Els respectius radis, $r_{A}$, $r_{B}$ i $r_{C}$, són els exinradis o exradis.

Inradi, exradis i àrea del triangle

L'inradi i els exinradis tenen una relació senzilla amb l'àrea del triangle:

Inradi i àrea del triangle

El triangle $\triangle ABC$ descompon en els triangles $\triangle AIB$, $\triangle BIC$ i $\triangle AIC$. A cadascun d'aquests tres triangles podem considerar que un costat n'es la base i l'inradi $r$ n'es l'altura, així, doncs, si $S$ és l'àrea del triangle $\triangle ABC$,

$S={\dfrac {ar}{2}}+{\dfrac {br}{2}}+{\dfrac {cr}{2}}={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}$

o sigui,

$r={\dfrac {2S}{a+b+c}}$

Exradis i àrea del triangle

Igualment, el quadrilàter $AI_{C}BC$ descompon en els triangles $\triangle AI_{C}C$ de base $b$, i $\triangle BI_{C}C$ de base $a$, tots dos d'altura l'exinradi $r_{C}$. Si aquest quadrilàter li treiem el triangle $\triangle AI_{C}B$, de base $c$ i altura $r_{C}$, obtenim el triangle $\triangle ABC$. Resulta:

$S={\dfrac {br_{C}}{2}}+{\dfrac {ar_{C}}{2}}-{\dfrac {cr_{C}}{2}}={\dfrac {(a+b-c)r_{C}}{2}}$

Consideracions similars pels altres dos exincentres $I_{A}$ i $I_{B}$ porten a

$r_{A}={\dfrac {2S}{-a+b+c}},\qquad r_{B}={\dfrac {2S}{a-b+c}},\qquad r_{C}={\dfrac {2S}{a+b-c}}$

D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències exinscrites són sempre més grans que la inscrita al triangle, i que la més gran de totes és la circumferència exinscrita tangent al costat més llarg.

Inradi, exinradis i circumradi d'un triangle

Si $R$ és el circumradi d'un triangle $\triangle ABC$ d'àrea $S$,

$S={\dfrac {abc}{4R}}$

Aleshores, de

$S={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}={\dfrac {(-a+b+c)r_{A}}{2}}={\dfrac {(a-b+c)r_{B}}{2}}={\dfrac {(a+b-c)r_{C}}{2}}={\dfrac {abc}{4R}}$

resulta

${\dfrac {abc}{a+b+c}}=2rR,\qquad {\dfrac {abc}{-a+b+c}}=2r_{A}R,\qquad {\dfrac {abc}{a-b+c}}=2r_{B}R,\qquad {\dfrac {abc}{a+b-c}}=2r_{C}R$

Bibliografia

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs

• «Circumferència inscrita». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
• Weisstein, Eric W., «Incircle» a MathWorld (en anglès).