Polinomi d'Alexander

invariant en teoria de nusos

El polinomi d'Alexander (també anomenat polinomi d'Alexander-Conway) és un invariant per nusos en forma de polinomi d'una variable. Fou descobert en 1923 pel matemàtic James W. Alexander.

Definició formal modifica

Definició tradicional modifica

Sigui K un nus a la 3-esfera i sigui X el revestiment cíclic infinita del complementari de K. Aquest revestiment pot obtenir-se tallant el complementari del nus al llarg de la superfície de Seifert de K i enganxant-ne infinitament les còpies de la varietat resultant amb frontera de manera cíclica. Hi ha una transformació del revestiment t actuant en X. Considerem la primera homologia (de coeficients enters) de X,  . La transformació t actua en l'homologia, per tant podem considerar   un mòdul sobre  . És l'anomenat invariant d'Alexander o mòdul d'Alexander.

Aquest mòdul és finitament representable. La matriu que representa el mòdul s'anomena matriu d'Alexander. Si el nombre de generadors, r, és menor o igual al nombre de relacions, s, aleshores considerem l'ideal generat per tot r per r menors de la matriu; aquest és el ideal de Fitting o ideal d'Alexander i no depèn de l'elecció de la representació. Si r és major que s, fixem l'ideal 0. Si l'ideal d'Alexander és principal, en prenem un generador; és el polinomi d'Alexander del nus. Com que és únic només llevat productes pel monomi de Laurent  , se'n fixa com forma normalitzada la que té terme independent positiu.

Alexander va demostrar que l'ideal que porta el seu nom és diferent de zero i sempre principal. Per tant el polinomi d'Alexander sempre existeix i és clarament un invariant per nusos, que es denota com  .

Definició de Conway modifica

En 1969 el matemàtic John Conway, a partir de les relacions de Skein, trobà una definició equivalent del polinomi d'Alexander que en facilita el càlcul. Siguin L+, L- i L0 tres nusos que difereixen només en un creuament segons la següent figura:

 

Aleshores, el polonomi d'Alexander es pot definir a partir de les equacions

 

  on O és el nus trivial.

Aquesta definició no només facilita el càlcul manual del polinomi, sinó que pot usar-se en computació.

Característiques modifica

La característica principal del polinomi d'Alexander, que és la que el fa interessant i invariant de nusos, és el fet que és invariant per moviments de Reidemeister. Ara bé, no existeix una relació unívoca entre nusos i els polinomis d'Alexander (dos nusos diferents poden tenir el mateix polinomi d'Alexander, com passa amb les reflexions de mirall d'alguns nusos). És a dir, sigui K₂ un nus definit com la reflexió emmirallada d'un nus K1, i sigui   el polinomi d'Alexander en t d'un nus K, en general   (cosa que no passa amb altres invariants polinòmics per nusos).[1]

Una propietat directa per definició del polinomi d'Alexander és que, normalitzat per la seva variable de manera que tingui un terme de grau 0, compleix   i que  .[2]

Referències modifica

  1. Weisstein, Eric W., «Polinomi d'Alexander» a MathWorld (en anglès).
  2. Rolfsen, Dale. Knots and Links (en anglès), 1976, p. 207-208 (Mathematics Lecture Series 7). 

Bibliografia modifica

Vegeu també modifica