Polinomi de Jones

En el camp de la teoria de nusos, s'anomena polinomi de Jones a un invariant per nusos orientats en forma de polinomi de Laurent de coeficients enters en variable $t^{1/2}$ descobert per Vaughan Jones el 1984. També és aplicable a enllaços.

Definició a partir del polinomi parèntesi de Kaufmann

Primer moviment de Reidemeister

Sigui $L$ un enllaç orientat donat a partir del seu diagrama i sigui $\langle L\rangle$ el seu polinomi parèntesi de Kaufmann. Notem que el polinomi parèntesi és un polinomi de Laurent en la variable $A$ amb coeficients enters.

Prenem $X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle$ (el polinomi parèntesi normalitzat), on $w(L)$ denota l'entortellament (writhe) de L al seu diagrama donat. (L'entortellament del diagrama és el nombre de creuaments positius ($L_{+}$ a la figura) menys el nombre de creuaments negatius ($L_{-}$. Cal tenir present que l'entortellament no és un invariant per nusos.)

$X(L)$ és un invariant per nusos, perquè és invariant pels canvis en el diagrama de L via moviments de Reidemeister. La invariància pel segon i el tercer moviments ve heretada per la invariància del polinomi parèntesi. Pel que fa al primer moviment, el polinomi parèntesi canvia en un producte per $-A^{\pm 3}$, però la definició donada del polinomi X està feta per anul·lar aquesta variació, ja que l'entortellament canvia degudament per +1 or -1 en aplicar el primer moviment de Reidemeister.

Substituïm ara $A=t^{-1/4}$ a $X(L)$ per tal d'obtenir el polinomi de Jones $V(L)$. En resulta un polinomi de Laurent de coeficients enters i variable $t^{1/2}$.

Aquesta definició fou introduïda per Louis Kauffman l'any 1987 i suposà una formulació més propera a les eines clàssiques de la teoria de nusos. La definició original de Jones partia de la representació de grups de trenes.

Propietats

El polinomi de Jones es caracteritza pel fet que pren valor 1 per qualsevol diagrama del nus trivial. Compleix a més la relació:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,$

on $L_{+}$, $L_{-}$ i $L_{0}$ són les relacions de Skein, és a dir els tres diagrames orientats idèntics excepte en un encreuament segons el que es mostra a la següent taula:

La definició del polinomi de Jones a partir del polinomi de Kaufmann facilita veure que donat un nus $K$ el polinomi de Jones de la seva imatge especular ve donada a partir de substituir $t^{-1}$ per $t$ a $V(K)$. Per tant, un nus igual a la seva imatge especular ha de tenir polinomi de Jones en forma de palíndrom.

Polinomi de Jones cromàtic

Polinomi de Jones de N colors: N tires de L són paral·leles amb la resta al llarg del nus L i colorejades cadascuna en un color.

Sigui N un nombre natural, un polinomi de Jones de N colors, $V_{N}(L,t)$, pot definir-se com el polinomi de Jones per N tires del nus $L$ tal com es mostra a la figura de la dreta. Pot associar-se a una representació irreductubible de $SU(2)$ de dimensió N+1. De la mateixa manera que un polinomi de Jones no cromàtic, pot definir-se a partir de la relació de Skein i és un polinomi de Laurent en una variable t.

Un polinomi de Jones cromàtic de N colors $V_{N}(L,t)$ compleix les propietats següents:

• $V_{X\oplus Y}(L,t)=V_{X}(L,t)+V_{Y}(L,t)$ on $X,Y$ són dos espais de representació.
• $V_{X\otimes Y}(L,t)$ és igual al polinomi de Jones de les 2-tires de L amb dues components etiquetades per $X$ i $Y$. Per tant el polinomi de Jones de N colors és igual al polinomi de Jones original de les N tires de L.
• El polinomi de Jones original és un cas especial de polinomi de Jones cromàtic amb N = 1: $V(L,t)=V_{1}(L,t)$ .

Problemes oberts

Actualment no se sap si existeix cap altre nus amb el mateix polinomi de Jones que el del nus trivial. No obstant, gràcies a Morwen Thistlethwaite sí que se sap de l'existència d'enllaços no trivials amb el polinomi de Jones de l'enllaç trivial.

Vegeu també

• Polinomi d'Alexander
• Polinomi de HOMFLY
• Teoria de nusos

Bibliografia

• Jones, Vaughan «A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra» (en anglès). Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12, 1985, pàg. 103–111. Article original on Jones introduí el polinomi.
• Kauffman, Louis Hirsch «State models and the jones polynomial». Topology, 26, 3, 1987, pàg. 395–407. DOI: 10.1016/0040-9383(87)90009-7 [Consulta: 22 desembre 2012]. Article que introduí la definició a partir del polinomi parèntesi de Kauffman i la seva relació amb la formulació de Jones a partir de la representació de trenes.
• Jones, Vaughan. «The Jones Polynomial» (PDF) (en anglès), 2005.
• Adams, Colin. The Knot Book (en anglès). American Mathematical Society. ISBN 0-8050-7380-9. 
• Lickorish, W. B. Raymond. An introduction to knot theory. Nova York (etc.): Springer, 1997, p. 175. ISBN 978-0-387-98254-0. 
• Thistlethwaite, Morwen «Links with trivial Jones polynomial». Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 10, 04, 2001, pàg. 641–643. DOI: 10.1142/S0218216501001050.
• Eliahou, Shalom; Kauffman, Louis Hirsch; Thistlethwaite, Morwen B. «Infinite families of links with trivial Jones polynomial». Topology, 42, 1, 2003, pàg. 155–169. DOI: 10.1016/S0040-9383(02)00012-5.
• Michiel Hazewinkel (ed.). Jones-Conway polynomial. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.