Problema de Basilea

El problema de Basilea és un problema famós en teoria de nombres, plantejat per primer a vegada per Pietro Mengoli el 1644, tot i que la fou Jakob Bernoulli qui el donà a conèixer més àmpliament (i d'ell prové el seu nom, ja que Jakob Bernoulli residia a Basilea). Fou solucionat per Leonhard Euler el 1735, després de resistir els atacs de diversos matemàtics. Es pot enunciar de la següent forma:

Quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals? és a dir, quin és valor exacte de la sèrie

La sèrie s'aproxima a un valor proper a 1,644934..., que es pot anar calculant fàcilment afegint termes de la sèrie, però el problema demana el valor exacte, és a dir en una forma tancada (com una fracció, per exemple). Euler demostrà que la suma exacta de la sèrie és π²/6 i ho anuncià el 1735. Tot i així encara trigà 10 anys a donar una demostració totalment rigorosa, ja que la primera realitzava algunes operacions que no estaven plenament justificades.

Cal dir que la generalització d'aquesta sèrie per a qualsevol exponent real o complex és precisament la funció zeta de Riemann, d'importància cabdal en teoria de nombres.

La demostració original d'EulerModifica

En primer lloc cal recordar l'expansió en sèrie de Taylor del sinus:

 

Dividint per x obtenim

 

Ara cal recordar que les arrels de sin(x)/x són x = ±nπ, amb n = 1, 2, 3, ... En aquest punt Euler feu un pas agosarat i suposà que podem expressar aquesta sèrie infinita com a producte infinit dels seus factors, de la mateixa que es pot fer per a polinomis finits (evidentment aquest és un dels passos poc rigorosos de la demostració original):

 

Obtenint el factor comú de tots els termes en x²

 

veiem que el seu coeficient és precisament

 

Ara bé, en l'expansió original de sèrie de Taylor, el coeficient de x² és −1/(3!) = −1/6. Aquests dos coeficients òbviament han de ser iguals i, per tant,

 

i finalment,