Sèrie de Liouville-Neumann

En matemàtiques, la sèrie de Liouville-Neumann és una sèrie infinita que correspon a la tècnica resolvent de resolució de les equacions integrals de Fredholm en la teoria de Fredholm.

Definició

La sèrie Liouville-Neumann (iterativa) es defineix com

$\phi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\phi _{n}\left(x\right)$

que, sempre que $\lambda$ sigui prou petita perquè la sèrie convergeixi, és la solució única contínua de l'equació integral de Fredholm de segon tipus,

$f(t)=\phi (t)-\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)\,ds.$

Si el n-èsim nucli iterat es defineix com n−1 integrals niades de n operadors K,

$K_{n}\left(x,z\right)=\int \int \cdots \int K\left(x,y_{1}\right)K\left(y_{1},y_{2}\right)\cdots K\left(y_{n-1},z\right)dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n-1}$

aleshores

$\phi _{n}\left(x\right)=\int K_{n}\left(x,z\right)f\left(z\right)dz$

amb

$\phi _{0}\left(x\right)=f\left(x\right)~,$

tan K₀ es pot considerar que sigui δ(x−z).

El resolvent (o resolvent el nucli per a l'operador integral) és llavors donat per una «sèrie geomètrica» analògica esquemàtica.

$R\left(x,z;\lambda \right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}K_{n}\left(x,z\right).$

on K₀ s'ha pres per ser δ(x−z).

Així doncs, la solució de l'equació integral esdevé simplement

$\phi \left(x\right)=\int R\left(x,z;\lambda \right)f\left(z\right)dz.$

Es poden utilitzar mètodes similars per resoldre les equacions de Volterra.

Referències

• Fredholm, Erik I «Sur une classe d'equations fonctionnelles» (PDF) (en anglès). Acta Mathematica, 27, 1903, pàg. 365–390. DOI: 10.1007/bf02421317.
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. Mathematical methods of physics (en anglès). Nova York: W. A. Benjamin, 1970. ISBN 0-8053-7002-1.