Subsuccessió

En matemàtiques, una subsuccessió o successió parcial és una successió formada per infinits termes d'una successió. És a dir, una subsuccessió $\{a_{n_{k}}\}_{n_{k}}$ de la successió $\{a_{n}\}_{n}$ compleix $\{a_{n_{k}}\}_{n_{k}}\subset \{a_{n}\}_{n}$.

Definició formal

Siguin $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ una successió i $N_{0}\subseteq \mathbb {N}$ un subconjunt dels naturals amb cardinalitat infinita, aleshores, $\{a_{n_{k}}\}_{n_{k}\in \mathbb {N_{0}} }$ és una subsuccessió de $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$.

Exemple

Donada una successió $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$,

• Els termes de $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ que ocupen una posició parella conformen una subsuccessió:

$\{a_{n_{k}}:=a_{2\cdot n}\}_{n_{k}}$

• Els termes de $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ que ocupen una posició senar conformen una altra subsuccessió:

$\{a_{n_{p}}:=a_{2\cdot n+1}\}_{n_{p}}$

Per exemple, la successió dels nombres parells és $a_{n}=2\cdot n$ (és a dir, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...). Les següents successions són subsuccessions d'aquesta:

• $b_{k}=a_{2\cdot k}$ (4, 8, 12, 16...)
• $c_{k}=a_{2\cdot k+1}$ (2, 6, 10, 14...)
• $d_{k}=2^{k}$ (2, 4, 8, 16, 32...)

La següent successió no és subsuccessió de $\{2\cdot n\}_{n\in \mathbb {N} }$:

• $e_{k}=2$ (2, 2, 2, 2, 2...)

Propietats

Com que una subsuccessió és, en particular, una successió, mantenen les propietats d'aquestes. Els resultats més rellevants que involucren subsuccessions són els següents:

• Si una successió és convergent a $L\in \mathbb {R}$, aleshores totes les seves successions convergeixen també a $L$.
• Si una successió és fitada, aleshores totes les seves successions també ho són.
• Si una successió $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ té dues subsuccessions que convergeixen a límits distints, aleshores $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ no convergeix.
• Tota successió de reals fitada conté alguna subsuccessió convergent (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Bibliografia

• D'Angelo, J. P. and West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, pp. 277–279, 2000.

Vegeu també

• Successió
• Límit d'una successió
• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica
• Successió recurrent lineal
• Successió d'Ulam