Subsuccessió

En matemàtiques, una subsuccessió o successió parcial és una successió formada per infinits termes d'una successió. És a dir, una subsuccessió de la successió compleix .

Definició formalModifica

Siguin   una successió i   un subconjunt dels naturals amb cardinalitat infinita, aleshores,   és una subsuccessió de  .

ExempleModifica

Donada una successió  ,

  • Els termes de   que ocupen una posició parella conformen una subsuccessió:

 

  • Els termes de   que ocupen una posició senar conformen una altra subsuccessió:

 

Per exemple, la successió dels nombres parells és   (és a dir, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...). Les següents successions són subsuccessions d'aquesta:

  •   (4, 8, 12, 16...)
  •   (2, 6, 10, 14...)
  •   (2, 4, 8, 16, 32...)

La següent successió no és subsuccessió de  :

  •   (2, 2, 2, 2, 2...)

PropietatsModifica

Com que una subsuccessió és, en particular, una successió, mantenen les propietats d'aquestes. Els resultats més rellevants que involucren subsuccessions són els següents:[1]

  • Si una successió és convergent a  , aleshores totes les seves successions convergeixen també a  .
  • Si una successió és fitada, aleshores totes les seves successions també ho són.
  • Si una successió   té dues subsuccessions que convergeixen a límits distints, aleshores   no convergeix.
  • Tota successió de reals fitada conté alguna subsuccessió convergent (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

ReferènciesModifica

  1. Llopis, José L. «Subsucesiones» (en castellà). [Consulta: 14 maig 2019].

BibliografiaModifica

  • D'Angelo, J. P. and West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, pp. 277–279, 2000.

Vegeu tambéModifica