Tensor mètric (relativitat general)

generalització del potencial gravitatori de la gravitació newtoniana.

En la relativitat general, el tensor mètric (en aquest context sovint abreujat com a simplement mètrica) és l'objecte d'estudi fonamental. Es pot considerar vagament com una generalització del potencial gravitatori de la gravitació newtoniana. La mètrica captura tota l'estructura geomètrica i causal de l'espai-temps, s'utilitza per definir nocions com ara temps, distància, volum, curvatura, angle i separació del futur i del passat.[1]

Aquest article funciona amb una signatura mètrica que és majoritàriament positiva (− + + +); veure convenció de signes. La constant de gravitació es mantindrà explícit. Aquest article utilitza la convenció de suma d'Einstein, on els índexs repetits es sumen automàticament.[2]

Matemàticament, l'espai-temps està representat per una varietat diferenciable de quatre dimensions i el tensor mètric es dona com a tensor simètric covariant, de segon grau , denotada convencionalment per . A més, cal que la mètrica sigui no degenerada amb signatura (− + + +). Una varietat equipat amb aquesta mètrica és un tipus de varietat lorentziana.[3]

Explícitament, el tensor mètric és una forma bilineal simètrica a cada espai tangent de que varia de manera suau (o diferenciable) d'un punt a un altre. Donats dos vectors tangents i en un punt en , la mètrica es pot avaluar i per donar un nombre real:Aquesta és una generalització del producte escalat de l'espai euclidià ordinari. A diferència de l'espai euclidià – on el producte escalat és definit positiu – la mètrica és indefinida i dona a cada espai tangent l'estructura de l'espai de Minkowski.[4]

La mètrica determina completament la curvatura de l'espai-temps. Segons el teorema fonamental de la geometria riemanniana, hi ha una connexió única en qualsevol varietat semi-riemanniana que és compatible amb la mètrica i sense torsió. Aquesta connexió s'anomena connexió Levi-Civita.

Una de les idees bàsiques de la relativitat general és que la mètrica (i la geometria associada de l'espai-temps) està determinada pel contingut de matèria i energia de l'espai-temps. Equacions de camp d'Einstein:on el tensor de curvatura de Riccii la curvatura escalarrelaciona la mètrica (i els tensors de curvatura associats) amb el tensor esforç-energia . Aquesta equació tensor és un conjunt complicat d'equacions diferencials parcials no lineals per a les components mètriques. Les solucions exactes de les equacions de camp d'Einstein són molt difícils de trobar.

Referències

modifica
  1. «Metric tensor in special and general relativity» (en anglès). https://physics.stackexchange.com.+[Consulta: 7 gener 2023].
  2. Halo Anwar «Metric tensor in general relativity». Metric tensor in general relativity, 30-01-2017.
  3. Hirvonen, Ville. «General Relativity For Dummies: An Intuitive Introduction» (en anglès). https://profoundphysics.com.+[Consulta: 7 gener 2023].
  4. «[https://web.mit.edu/edbert/GR/gr1.pdf ntroduction to Tensor Calculus for General Relativity]» (en anglès). https://web.mit.edu.+[Consulta: 7 gener 2023].