Teorema de classificació de grups simples finits

teorema

En el camp matemàtic de la teoria de grups, el teorema de classificació de grups simples finits es va dissenyar per classificar tots els grups simples finits. Aquests grups es poden veure com els blocs que construeixen tots els grups finits, de la mateixa manera que els nombres primers construeixen els nombres naturals. El teorema de Jordan-Hölder és la manera més precisa d'establir aquest fet sobre els grups finits.

El teorema és principalment una manera convenient de descriure gran quantitat d'escrits matemàtics, fets en desenes de milers de pàgines de més de 500 articles escrits per més de cent autors en revistes matemàtiques, la majoria dels quals van ser publicades entre 1955 i 1983, donant cabuda a dubtar de la validesa de la seva demostració i la seva completesa, per la seva longitud i complexitat.

El teorema de classificacióModifica

El teorema s'enuncia de la següent manera:

Teorema de classificació de grups simples finits

Tot grup finit simple és isomorf a un dels 26 grups simples esporàdics o bé és isomorf a un dels següents grups:

Alguns consideren que el grup de Tits és un grup esporàdic,[1] a causa que no és estrictament grups de tipus Lie, però aquesta diferència no té impacte en el teorema de classificació.

Els primers grups esporàdics que identificats van ser els cinc primers grups de Mathieu, descoberts en 1860 per Émile Mathieu. Els altres 21 grups esporàdics van ser trobats entre els anys 1965 i 1975. 20 dels 26 formen tres famílies (una de les quals és la família dels grups de Mathieu), i són subgrups o grups quocient del grup monstre, el qual és el grup esporàdic amb l'ordre més alt. Els sis grups esporàdics restants defineixen una classificació anomenada els grups pària.

El teorema de classificació té disperses aplicacions en moltes branques de les matemàtiques, ja que moltes qüestions sobre l'estructura dels grups finits (i la seva acció sobre altres objectes matemàtics) poden ser reduïdes preguntes sobre grups finits simples. És a causa del teorema de classificació, que tals preguntes poden aclarir-se examinant només configuracions finites, en particular, cadascuna de les infinites famílies sovint poden ser eliminades per un únic argument.

Dubtes sobre la demostracióModifica

Existeixen alguns dubtes quant a si la demostració, la qual s'estén per més de 500 articles, és completa i correcta, i aquests dubtes es justifiquen en gran manera quan es troben obstacles i "buits" en alguns arguments. Malgrat tots els obstacles que s'han trobat, algunes parts de la suposada demostració romanen inamovibles. Jean-Pierre Serre és un notable escèptic sobre la suposada demostració d'aquest enorme teorema.[2]

Durant més d'una dècada, els experts coneixien un "buit" (d'acord amb Michael Aschbacher) en el teorema de classificació no publicat per Geoff Mason, referit als grups quasithin. L'anunci de Daniel Gorenstein en 1983 que els grups finits simples havien estat classificats, en part es basa en la seva convicció que el cas dels grups quasithin s'havia acabat. Va ser fins 2004 que Aschbacher i Steve Smith van publicar una classificació completa d'aquests grups que abasta prop de 1200 pàgines.

Classificació de segona generacióModifica

La demostració del teorema, en la seva forma actual, pot qualificar-se com a de primera generació. A causa de l'extrema longitud de la demostració de primera generació, s'ha dedicat molt esforç a la recerca d'una demostració senzilla, anomenada demostració de segona generació. Aquest esforç, anomenat "revisionisme", fou dirigit per Daniel Gorenstein.

Des de 2005 s'han publicat sis volums de la segona generació de la demostració . S'estima que la nova demostració és d'aproximadament 5.000 pàgines. Aschbacher i Smith van escriure els seus dos volums dedicats al cas quasithin, de tal manera que els volums poden ser part de la segona generació de la demostració .

Gorenstein i els seus col·laboradors han donat diverses raons per les quals és possible una demostració simple.

El més important és la declaració final del teorema que ara es coneix. La simplificació de les tècniques que poden aplicar-se als grups que coneixem com a finits i simples són adequades en aquesta generació. En canvi, els que van treballar en la primera generació de la demostració no coneixien la quantitat de grups esporàdics, i de fet alguns dels grups esporàdics (per exemple, el grup de Janko) van ser descoberts demostrant altres casos del teorema de classificació. Com a resultat, moltes de les peces del teorema es demostren mitjançant les tècniques que eren massa generals.

Com que la conclusió era desconeguda, la primera generació de la demostració es compon de molts teoremes autònoms, que tracten alguns casos especials importants. Gran part de la labor de demostrar aquests teoremes es va dedicar a l'anàlisi de nombrosos casos especials. El preu pagat en virtut de la present estratègia és que aquests teoremes de primera generació ja no tenen demostracions curtes, sinó que depenen de la classificació completa.

Molts teoremes de primera generació se superposen. Com a resultat, les famílies i subfamílies dels grups finits simples es van identificar diverses vegades. La revisió de la demostració elimina les redundàncies existents en la subdivisió dels casos.

Actualment els teòrics de grups finits tenen més experiència en aquest tipus d'exercici, i tenen noves tècniques a la seva disposició.

Classificació de tercera generacióModifica

Alguns designen els treballs sobre el problema de classificació fets per Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, i alguns altres, com a demostració de tercera generació.

ReferènciesModifica

  1. Wilson, R.A.; Nickerson, S.J.; Bray, J.N. «ATLAS: Sporadic groups» (en anglès). Queen Mary University of London. [Consulta: 11 abril 2020].
  2. Entrevista amb Jean-Pierre Serre

BibliografiaModifica

Enllaços externsModifica

  • Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Número 41, desembre 2006.
  • Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups Arxivat 2005-04-04 a Wayback Machine.. Conté una llista de grups simples no abelians l'ordre dels quals és menor a 1010.