Teorema de l'índex d'Atiyah-Singer

En geometria diferencial, el teorema de l'índex d'Atiyah–Singer, demostrat per Michael Atiyah i Isadore Singer (1963), afirma que per un operador diferencial el·líptic en una varietat compacta, l'índex analític (relacionat amb la dimensió de l'espai de solucions) és igual a l'índex topològic (definit en termes d'algunes dades topològiques). Inclou molts altres teoremes, com ara el teorema de Chern–Gauss–Bonnet i el teorema de Riemann–Roch, com a casos especials, i té aplicacions en la física teòrica.

Història

El problema de l'índex dels operadors diferencials el·líptics va ser proposat per Izraïl Gelfand. Ell va notar la invariància homotòpica de l'índex, i es va preguntar si se'n podria derivar una fórmula usant els invariants topològics. Alguns dels exemples que ho motivaven eren el teorema de Riemann–Roch i la seva generalització en el teorema d'Hirzebruch–Riemann–Roch, així com el teorema de la signatura d'Hirzebruch. Friedrich Hirzebruch i Armand Borel van demostrar la integralitat del gènere  d'una varietat spin, i Atiyah va suggerir que aquesta integralitat podia ser explicada si es tractés de l'índex de l'operador de Dirac (que va tornar a ser descobert per Atiyah i Singer l'any 1961).

El teorema d'Atiyah–Singer va ser enunciat l'any 1963. La demostració esbossada en aquest enunciat mai no va ser publicada per ells, tot i que apareix en el llibre de Palais. També apareix en el "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que es va celebrar a París simultàniament al seminari dirigit per Richard Palais a la Universitat de Princeton. L'última xerrada a París va ser feta per Atiyah sobre varietats amb frontera. La seva primera demostració publicada va substituir la teoria del cobordisme de la primera demostració per la K-teoria, que van utilitzar en demostracions de diverses generalitzacions en una sèrie d'articles posteriors.

• 1965: Serguei Nóvikov va publicar els seus resultats sobre invariància topològica de les classes de Pontryagin racionals en varietats diferenciables.
• Els resultats de Robion Kirby i Laurent C. Siebenmann, combinats amb l'article de René Thom van demostrar l'existència de classes de Pontryagin racionals en varietats topològiques. Les classes de Pontryagin racionals són ingredients essencials del teorema de l'índex en varietats diferenciables i topològiques.
• 1969: Michael Atiyah va definir els operadors el·líptics abstractes en espais mètrics arbitraris. Els operadors el·líptics abstractes es van convertir en protagonistes en la teoria de Kaspàrov i en la geometria diferencial no commutativa de Connes.
• 1971: Isadore Singer va proposar un programa proposes a integral per a futures extensions del teorema de l'índex.
• 1972: Gennadi G. Kaspàrov va publicar el seu treball en la realització de la K-homologia a partir d'operadors el·líptics abstractes.
• 1973: Atiyah, Raoul Bott i Vijay Patodi van donar una nova demostració del teorema de l'índex utilitzant l'equació de la calor, descrita en un article de Melrose.
• 1977: Dennis Sullivan va establir el seu teorema sobre l'existència i la unicitat d'estructures Lipschitz quasiconformes en varietats topològiques de dimensió diferent a 4.
• 1983: Ezra Getzler, motivat per les idees d'Edward Witten i Luis Alvarez-Gaume, va aportar una breu demostració del teorema de l'índex local per a operadors que són localment operadors de Dirac; això inclou molts dels casos útils.
• 1983: Nicolae Teleman va demostrar que els índexos analítics dels operadors de signatura amb valors en fibrats vectorials són invariants topològics.
• 1984: Teleman va establir el teorema de l'índex en varietats topològiques.
• 1986: Alain Connes va publicar el seu article fonamental sobre geometria no commutativa.
• 1989: Simon K. Donaldson i Sullivan van estudiar la teoria de Yang–Mills en varietats quasiconformals de dimensió 4. Van introduir l'operador de signatura S definit en formes diferencials de grau dos.
• 1990: Connes i Henri Moscovici van demostrar la fórmula de l'índex local en el context de la geometria no commutativa.
• 1994: Connes, Sullivan i Teleman van demostrar el teorema de l'índex per a operadors de signatura en varietats quasiconformals.

Notació

• X és una varietat diferenciable compacta (sense frontera).
• E i F són fibrats vectorials diferenciables en X.
• D és un operador diferencial el·líptic de E a F. Així, en coordenades locals, actua com a operador diferencial, prenent seccions diferenciables de E a seccions diferenciables de F.

Símbol d'un operador diferencial

Sigui D un operador diferencial en un espai euclidià d'ordre n en k variables $x_{1},\dots ,x_{k}$, llavors el seu símbol és la funció de 2k variables $x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}$, que s'obté en eliminar tots els termes d'ordre inferior a n i substituint $\partial /\partial x_{i}$ per $y_{i}$. Així doncs, el símbol és homogeni en les variables y, de grau n. El símbol està ben definit fins i tot en el cas que $\partial /\partial x_{i}$ no commuti amb $x_{i}$ ja que romanen únicament els termés d'ordre més alt i els operadors diferencials commuten "fins als termes d'ordre baix". S'anomena el·líptic a l'operador si el seu símbol és diferent a zero sempre i quan almenys una y sigui zero.

Exemple: l'operador laplacià en k variables té símbol $y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}$, i és per tant el·líptic ja que és diferent a zero quan qualsevol de les $y_{i}$'s són diferents a zero. L'operador d'ona té símbol $-y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}$, que no és el·líptic si $k\geq 2$, ja que el símbol pot ser zero per uns certs valors de les ys.

El símbol d'un operador diferencial d'ordre n en una varietat diferenciable X és definit de manera similar usant sistemes de coordenades locals, i és una funció del fibrat cotangent de X, homogeni de grau n en cada espai cotangent. (En general, els operadors diferencials es transformen de forma més aviat complicada quan s'apliquen transformacions de coordenades (vegeu feix de jets); tanmateix, els termes d'ordre més alt es transformen com tensors de tal forma que s'obtenen funcions homogènies ben definides en els espais cotangennts que són independents de l'elecció de les coordenades locals.) Més generalment, el símbol d'un operador diferencial entre dos fibrats vectorials E i F és una secció del pullback del fibrat Hom(E, F) a l'espai cotangent de X. L'operador diferencial és anomenat el·líptic si l'element de Hom(E_x, F_x) és invertible per qualssevol vectors cotangents no zero en qualsevol punt x de X.

Una propietat clau dels operadors el·líptics és que són gairebé invertibles; fet que està molt relacionat amb el fet que els seus símbols són gairebé invertibles. Més precisament, un operador el·líptic D en una varietat compacta té un pseudo-inversa (no única) D′ tal que DD′⁻¹ i D′D⁻¹ són tots dos operadors compactes. Una conseqüència important d'això és que el nucli de D té dimensió finita, ja que tots els espais propis d'operadors compactes, sense comptar el nucli, són de dimensió finita. (La pseudo-inversa d'un operador diferencial el·líptic no és gairebé mai un operador diferencial. No obstant això, és un operador pseudo-diferencial el·líptic.)

Índex analític

Com que l'operador diferencial el·líptic D té pseudo-inversa, es tracta d'un operador de Fredholm. Qualsevol operador de Fredholm té un índex, definit com la diferència entre la dimensió (finita) del nucli de D (solucions de Df = 0), i la dimensió (finita) del conucli de D (les restriccions del costat dret d'una equació no homogènia com ara Df = g, o equivalentment el nucli de l'operador adjunt). En altres paraules,

Index(D) = dim Ker(D) − dim Coker(D) = dim Ker(D) − dim Ker(D* ).

Aquest valor rep sovint el nom d'índex analític de D.

Exemple: Suposis's que la varietat és el cercle (Que es pot pensar com R/Z), i que D és l'operador d/dx − λ per una certa constant complexa λ. (Es tracta de l'exemple més simple d'un operador el·líptic.) Llavors el nucli és l'espai de múltiples de exp(λx) si λ és un múltiple integral de 2πi i 0 altrament, i el nucli de l'adjunt és un espai similar en què λ és substituïda pel seu complex conjugat. Llavors D té índex 0. Aquest exemple mostra que el nucli i el conucli d'operadors el·líptics pot saltar de forma discontínua a mesura que l'operador el·líptic canvia, així doncs, no existeix cap fórmula amb què obtenir la seva dimensió a partir de dades topològiques contínues. Tanmateix, els salts en la dimensió del nucli i del conucli són iguals, així doncs l'índex, que prové de la diferència entre les seves dimensions, sí que canvia de forma contínua, i pot ser obtingut en termes de dades topològiques a partir del teorema de l'índex.

Índex topològic

L'índex topològic d'un operador diferencial el·líptic $D$ entre els fibrats vectorials diferenciables $E$ i $F$ en una varietat compacta $n$-dimensional $X$ ve donat per l'expressió

$\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)$

en altres paraules, és el valor del component dimensionalment superior de la classe cohomològica $\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)$ en la classe homòloga fonamental de la varietat $X$. Aquí,

• $\operatorname {Td} (X)$ és la classe de Todd del fibrat tangentn complexificat de $X$.
• $\operatorname {ch} (D)$ és igual a $\varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))$, on
  • $\varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )$ és l'isomorfisme de Thom per al fibrat esfèric $p:B(X)/S(X)\to X$
  • $\operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$ és el caràcter de Chern
  • $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ és l'"element de diferència" en $K(B(X)/S(X))$ associat als fibrats vectorials $p^{*}E$ i $p^{*}F$ en $B(X)$ i un isomorfisme $\sigma (D)$ entre ells i el subespai $S(X)$.
  • $\sigma (D)$ és el símbol de $D$

També es pot definir l'índex topològic usant únicament K-teoria (i aquesta definició alternativa és compatible en un cert sentit amb la construcció a partir del caràcter de Chern de més amunt). Sigui X és una subvarietat compacta d'una varietat Y llavors hi ha un pushforward de K(TX) a K(TY). L'índex topològic d'un element de K(TX) és definit com la imatge d'aquesta operació sent Y un cert espai euclidià, pel qual es pot identificar naturalment K(TY) com els enters Z (com a conseqüència de la periodicitat de Bott). Aquesta aplicació és independent de l'embedding de X en l'espai euclidià. Ara, un operador diferencial com el de més amunt defineix naturalment un element de K(TX), i la imatge en Z sota aquesta aplicació "és" l'índex topològic.

Com sovint, D és un operador diferencial el·líptic entre els fibrats vectorials E i F en una varietat compacta X.

El problema de l'índex és el següent: calculi's l'índex (analític) de D usant només el símbol s i les dades topològiques derivades de la varietat i del fibrat vectorial. El teorema de l'índex d'Atiyah–Singer soluciona aquest problema en afirmar:

L'índex analític de D és igual al seu índex topològic.

Malgrat la seva formidable definició, l'índex topològic és normalment força fàcil d'avaluar explícitament. Això fa que, immediatament, sigui fàcil d'avaluar l'índex analític. (El conucli i el nucli d'un operador el·líptic són, en general, extramadament difícils d'avaluar individualment; el teorema de l'índex mostra que com a mínim se'n pot determinar fàcilment la seva diferència). Es poden donar molts invariants importants d'una varietat (com ara la signatura) com l'índex d'uns certs operadors diferencials triats a conveniència, així doncs el teorema de l'índex permet avaluar aquests invariants en termes de dades topològiques.

Bibliografia

Els articles d'Atiyah van ser reimpresos en els volums 3 i 4 de la recopilació de les seves obres, (Atiyah 1988a, 1988b)

• Atiyah, M. F.. «Global Theory of Elliptic Operators». A: Proc. Int. Conf. on Functional Analysis and Related Topics (Tokyo, 1969). University of Tokio, 1970. 
• Atiyah, M. F.. «Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras». A: Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974). 32–33. Soc. Math. France, Paris, 1976, p. 43–72. 
• Atiyah, M. F.; Segal, G. B. «The Index of Elliptic Operators: II». Annals of Mathematics, 87, 3, 1968, p. 531–545. DOI: 10.2307/1970716. This reformulates the result as a sort of Lefschetz fixed point theorem, using equivariant K-theory.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. «The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds». Bull. Amer. Math. Soc., 69, 3, 1963, p. 422–433. DOI: 10.1090/S0002-9904-1963-10957-X. An announcement of the index theorem.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. «The Index of Elliptic Operators I». Annals of Mathematics, 87, 3, 1968a, p. 484–530. DOI: 10.2307/1970715. This gives a proof using K-theory instead of cohomology.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. «The Index of Elliptic Operators III». Annals of Mathematics, 87, 3, 1968b, p. 546–604. DOI: 10.2307/1970717. This paper shows how to convert from the K-theory version to a version using cohomology.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. «The Index of Elliptic Operators IV». Annals of Mathematics, 93, 1, 1971a, p. 119–138. DOI: 10.2307/1970756. This paper studies families of elliptic operators, where the index is now an element of the K-theory of the space parametrizing the family.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. «The Index of Elliptic Operators V». Annals of Mathematics, 93, 1, 1971b, p. 139–149. DOI: 10.2307/1970757.. This studies families of real (rather than complex) elliptic operators, when one can sometimes squeeze out a little extra information.
• Atiyah, M. F.; Bott, R. «A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators». Bull. Am. Math. Soc., 72, 2, 1966, p. 245–50. DOI: 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0.. This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex.
• Atiyah, M. F.; Bott, R. «A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I». Annals of Mathematics, 86, 2, 1967, p. 374–407. DOI: 10.2307/1970694. and Atiyah, M. F.; Bott, R. «A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications». Annals of Mathematics, 88, 3, 1968, p. 451–491. DOI: 10.2307/1970721. These give the proofs and some applications of the results announced in the previous paper.
• Atiyah, M.; Bott, R.; Patodi, V. K. «On the heat equation and the index theorem». Invent. Math., 19, 4, 1973, p. 279–330. DOI: 10.1007/BF01425417.. Atiyah, M.; Bott, R.; Patodi, V. K. «Errata». Invent. Math., 28, 3, 1975, p. 277–280. DOI: 10.1007/BF01425562.
• Atiyah, Michael; Schmid, Wilfried «A geometric construction of the discrete series for semisimple Lie groups». Invent. Math., 42, 1977, p. 1–62. DOI: 10.1007/BF01389783., Atiyah, Michael; Schmid, Wilfried «Erratum». Invent. Math., 54, 2, 1979, p. 189–192. DOI: 10.1007/BF01408936.
• Atiyah, Michael. Collected works. Vol. 3. Index theory: 1. Nova York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1988a. ISBN 978-0-19-853277-4. 
• Atiyah, Michael. Collected works. Vol. 4. Index theory: 2. Nova York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1988b. ISBN 978-0-19-853278-1. 
• Baum, P.; Fulton, W.; Macpherson, R. «Riemann-Roch for singular varieties». Acta Mathematica, 143, 1979, p. 155–191. DOI: 10.1007/BF02684299.
• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle. Heat Kernels and Dirac Operators. Berlín: Springer, 1992. ISBN 978-3-540-53340-5.  This gives an elementary proof of the index theorem for the Dirac operator, using the heat equation and supersymmetry.
• Bismut, Jean-Michel «The Atiyah–Singer Theorems: A Probabilistic Approach. I. The index theorem». J. Funct. Analysis, 57, 1984, p. 56–99. DOI: 10.1016/0022-1236(84)90101-0. Bismut proves the theorem for elliptic complexes using probabilistic methods, rather than heat equation methods.
• Cartan-Schwartz. Séminaire Henri Cartan. Théoreme d'Atiyah-Singer sur l'indice d'un opérateur différentiel elliptique. 16 annee: 1963/64 dirigee par Henri Cartan et Laurent Schwartz. Fasc. 1; Fasc. 2. (French). École Normale Supérieure, Secrétariat mathématique, Paris, 1965. 
• Connes, A. «Non-commutative differential geometry». Publications Mathématiques, 62, 1986, p. 257–360. DOI: 10.1007/BF02698807.
• Connes, A. Noncommutative Geometry. San Diego: Academic Press, 1994. ISBN 978-0-12-185860-5. 
• Connes, A.; Moscovici, H. «Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups». Topology, 29, 3, 1990, p. 345–388. DOI: 10.1016/0040-9383(90)90003-3.
• Connes, A.; Sullivan, D.; Teleman, N. «Quasiconformal mappings, operators on Hilbert space and local formulae for characteristic classes». Topology, 33, 4, 1994, p. 663–681. DOI: 10.1016/0040-9383(94)90003-5.
• Donaldson, S.K.; Sullivan, D. «Quasiconformal 4-manifolds». Acta Mathematica, 163, 1989, p. 181–252. DOI: 10.1007/BF02392736.
• Gel'fand, I. M. «On elliptic equations». Russ. Math. Surv., 15, 3, 1960, p. 113–123. DOI: 10.1070/rm1960v015n03ABEH004094. reprinted in volume 1 of his collected works, p. 65–75, ISBN 0-387-13619-3. On page 120 Gel'fand suggests that the index of an elliptic operator should be expressible in terms of topological data.
• Getzler, E. «Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah–Singer index theorem». Commun. Math. Phys., 92, 2, 1983, p. 163–178. DOI: 10.1007/BF01210843.
• Getzler, E. «A short proof of the local Atiyah–Singer index theorem». Topology, 25, 1988, p. 111–117. DOI: 10.1016/0040-9383(86)90008-X.
• Gilkey, Peter B. Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem, 1994. ISBN 978-0-8493-7874-4.  Free online textbook that proves the Atiyah–Singer theorem with a heat equation approach
• Hamilton, M. J. D. (2020), "The Higgs boson for mathematicians. Lecture notes on gauge theory and symmetry breaking", arΧiv:1512.02632 [math.DG]

• Higson, Nigel; Roe, John. Analytic K-homology. Oxford University Press, 2000. ISBN 9780191589201. 
• Hilsum, M. «Structures riemaniennes L^p et K-homologie». Annals of Mathematics, 149, 3, 1999, p. 1007–1022. DOI: 10.2307/121079.
• Kasparov, G.G. «Topological invariance of elliptic operators, I: K-homology». Math. USSR Izvestija (Engl. Transl.), 9, 4, 1972, p. 751–792. DOI: 10.1070/IM1975v009n04ABEH001497.
• Kirby, R.; Siebenmann, L.C. «On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung». Bull. Amer. Math. Soc., 75, 4, 1969, p. 742–749. DOI: 10.1090/S0002-9904-1969-12271-8.
• Kirby, R.; Siebenmann, L.C.. Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings and Triangulations. 88. Princeton: Princeton University Press and Tokio University Press, 1977. 
• Melrose, Richard B. The Atiyah–Patodi–Singer Index Theorem. Wellesley, Mass.: Peters, 1993. ISBN 978-1-56881-002-7.  Free online textbook.
• Novikov, S.P. «Topological invariance of the rational Pontrjagin classes». Doklady Akademii Nauk SSSR, 163, 1965, p. 298–300.
• Palais, Richard S. Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem. 57. S.l.: Princeton Univ Press, 1965. ISBN 978-0-691-08031-4.  This describes the original proof of the theorem (Atiyah and Singer never published their original proof themselves, but only improved versions of it.)
• Shanahan, P. The Atiyah–Singer index theorem: an introduction. 638. Springer, 1978. DOI 10.1007/BFb0068264. ISBN 978-0-387-08660-6. 
• Singer, I.M.. «Future extensions of index theory and elliptic operators». A: Prospects in Mathematics. 70, 1971, p. 171–185. 
• Sullivan, D. «Hyperbolic geometry and homeomorphisms». A: J.C. Candrell, "Geometric Topology", Proc. Georgia Topology Conf. Athens, Georgia, 1977. Nova York: Academic Press, 1979, p. 543–595. ISBN 978-0-12-158860-1. 
• Sullivan, D.; Teleman, N. «An analytic proof of Novikov's theorem on rational Pontrjagin classes». Publications Mathématiques [París], 58, 1983, p. 291–293. DOI: 10.1007/BF02953773.
• Teleman, N. «Combinatorial Hodge theory and signature operator». Inventiones Mathematicae, 61, 3, 1980, p. 227–249. DOI: 10.1007/BF01390066.
• Teleman, N. «The index of signature operators on Lipschitz manifolds». Publications Mathématiques, 58, 1983, p. 251–290. DOI: 10.1007/BF02953772.
• Teleman, N. «The index theorem on topological manifolds». Acta Mathematica, 153, 1984, p. 117–152. DOI: 10.1007/BF02392376.
• Teleman, N. «Transversality and the index theorem». Integral Equations and Operator Theory, 8, 5, 1985, p. 693–719. DOI: 10.1007/BF01201710.
• Thom, R. «Les classes caractéristiques de Pontrjagin de variétés triangulées». A: Symp. Int. Top. Alg. Mexico, 1956, p. 54–67. 
• Witten, Edward «Supersymmetry and Morse theory». J. Diff. Geom., 17, 4, 1982, p. 661–692. DOI: 10.4310/jdg/1214437492.
• The Founders of Index Theory. 2nd. International Press of Boston, 2009. ISBN 978-1571461377.  - Personal accounts on Atiyah, Bott, Hirzebruch and Singer.