Teorema de von Staudt-Clausen

En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que:

on és un nombre de Bernoulli, és un nombre enter i els són els nombres primers que satisfan , és a dir que és divisor de .

Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per .

ExemplesModifica

Per exemple, per a  , els nombres primers que compleixen la condició són  , ja que   divideixen  , és a dir  . Per tant:

 

Per  , per exemple, és més senzill, ja que només els primers   compleixen la condició (de fet   i   la compleixen sempre):

 

HistòriaModifica

El teorema va ser descobert independent i simultàniament pels matemàtics Karl von Staudt i Thomas Clausen el 1840. El teorema va ser redescobert a començaments del segle XX per Ramanujan i es pot demostrar utilitzant els nombres p-àdics.

Enllaços externsModifica