Topologia quocient

La cinta de Möbius es pot veure com un espai topològic quocient (veure el segon exemple).

En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.

DefinicióModifica

Siga   un espai topològic i   una relació d'equivalència sobre  . El conjunt quocient   és el conjunt de les classes d'equivalència dels elements de  :

 

Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre   són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en  :

 

Definició equivalent: sigui   l'aplicació projecció donada per  , aleshores es defineixen els oberts de   com els conjunts   tals que   és obert en  .

PropietatsModifica

  • L'aplicació   que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.[1]
  • Siguen   la projecció i  . L'aplicació   és continua si, i només si, la composició   és continua.[1]

ExemplesModifica

  • El tor com a conjunt quocient:[1] Sobre   es defineix la relació d'equivalència   i  . L'espai quocient   és homeomorf a un tor.
  • La cinta de Möbius com a conjunt quocient:[1] Sobre   es defineix la relació d'equivalència  . L'espai quocient   és homeomorf a una cinta de Möbius.
  • La ampolla de Klein com a conjunt quocient:[2] Sobre   es defineix la relació d'equivalència   i  . L'espai quocient   és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de  ).
  • L'esfera com a conjunt quocient:[3] Sobre   es defineix la relació d'equivalència   per a   de la frontera. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.

Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica


ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Llopis, José L. «Espai topològic quocient» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 18 setembre 2019].
  2. A. Stolz, Stephan «Topología algebraica» (en anglès). Universitat de Notre Dame [Consulta: 18 setembre 2019].
  3. «Classificació de superfícies» (en anglès). Universitat de Chicago [Consulta: 18 setembre 2019].