Usuari:Mcapdevila/Idempotència

La idempotència és la propietat per realitzar una acció determinada diverses vegades i tot i així aconseguir el mateix resultat que s'obtindria si es realitzés una sola vegada. Un element que compleix aquesta propietat és un element idempotent, o un idempotent. D'aquesta manera, si un element es multiplica per si mateix successives vegades dóna el mateix element, aquest element és idempotent. Per exemple, els dos únics nombres reals que són idempotents, per l'operació producte (·), són 0 i 1. (0·0 = 0, 1·1 = 1).

Formalment, si $S$ és un magma, és a dir, un conjunt amb una operació binària $*$, llavors un element $s\in S$ es diu idempotent si $s*s=s$. Si tot $s$ és idempotent sota $*$, llavors l'operació en si es denominaria operació idempotent.

En particular, qualsevol element identitat és un idempotent sota $*$.

En àlgebra conjuntista, les operacions d'unió i intersecció de conjunts són idempotents. En efecte, la unió o intersecció d'un conjunt amb si mateix, lliuren com a resultat el conjunt mateix.

Anàlogament, en àlgebra booleana, els operadors I (and, $\land$) i O (or, $\lor$) són idempotents. En efecte, si V = Veritable, F = Fals: ${\mbox{V}}\land {\mbox{V}}={\mbox{V}},\;\;{\mbox{V}}\lor {\mbox{V}}={\mbox{V}}$. Anàlogament per F.

En àlgebra lineal, la projecció és idempotent. És a dir, qualsevol matriu que projecta tots els vectors sobre un subespai V (no necessàriament ortogonalment) és idempotent, si V mateix està fix punt per punt.

Una funció $f$ d'un conjunt $M$ a si mateix es diu idempotent si es compleix que per a la composició de funcions, $f\circ f=f$, és a dir: $\forall x\in M,\;f(f(x))=f(x)$, és a dir: Això és equivalent a dir que $f(x)=x$, també per a tot x a f(M).
Exemples trivials de funcions idempotents en S són la funció identitat i les funcions constants. Exemples menys trivials són el valor absolut i la funció que assigna a cada subconjunt U d'un cert espai topològic X la clausura de U. L'última és una funció idempotent al conjunt de parts de X. És un exemple de operador de cloenda, tots els operadors de cloenda són funcions idempotents.

Un anell en què la multiplicació és idempotent ($x\times x=x$) es diu anell de Boole. Es pot demostrar que en aquests anells la multiplicació és commutativa, i cada element és el seu propi invers additiu.