Usuari:Mcapdevila/Metalògica

La metalògica és l'estudi de les propietats i els components dels sistemes lògics.

Consistència

Un sistema lògic té la propietat de ser consistent quan no és possible deduir una contradicció dins del sistema. És a dir, donat un llenguatge formal amb un conjunt de axioma s, i un aparell deductiu (regles d'inferència), no és possible arribar a una fórmula de la forma $(A\land \neg A)$.

Decidibilitat

Es diu d'un sistema lògic que és decidible quan, per qualsevol fórmula donada en el llenguatge del sistema, hi ha un mètode efectiu per determinar si aquesta fórmula pertany o no al conjunt de les veritats del sistema. Quan una fórmula no pot ser provada vertadera ni falsa, es diu que la fórmula és independent , i que per tant el sistema és no decidible . L'única manera d'incorporar una fórmula independent a les veritats del sistema és postulat com axioma. Dos exemples molt importants de fórmules independents són el axioma d'elecció en la teoria de conjunts, i el cinquè postulat de la geometria euclidiana.

Completesa

Article principal: Completesa

Es parla de completesa en diversos sentits, però potser els dos més importants siguin els de completesa semàntica i completesa sintàctica. Un sistema S en un llenguatge L és semànticament complet quan totes les veritats lògiques de L són teoremes de S. En canvi, un sistema S és sintàcticament complet si, per a tota fórmula A del llenguatge del sistema, A és un teorema de S o ¬ A és un teorema de S. És a dir, hi ha una prova per a cada fórmula o per a la seva negació. La lògica proposicional i la lògica de primer ordre són dues semànticament completes, però no sintàcticament completes. Per exemple, noti's que a la lògica proposicional, la fórmula p no és un teorema, i tampoc ho és la seva negació, però com cap de les dues és una veritat lògica, no afecten la completesa semàntica del sistema. El segon teorema d'incompletesa de Gödel demostra que cap sistema (definit recursivament) amb cert poder expressiu pot ser alhora consistent i complet.

Vegeu també

• Lògica
• Metallenguatge
• Teoremes d'incompletesa de Gödel