Obre el menú principal

En matemàtiques, una funció còncava[1] és l'oposada d'una funció convexa.

Contingut

DefinicióModifica

Formalment, una funció real f definida en un interval (o en qualsevol conjunt convex C d'algun espai vectorial s'anomena còncava, si per a dos punts qualssevol x i y en el seu domini C i qualsevol t en [0,1], es té

 

També f (x) és còncava a [a, b ] si i només si la funció −f (x) és convexa a [a, b ].

Una funció s'anomena estrictament còncava si

 

per a qualsevol t de (0,1) i x ≠; y.

Aquesta definició només manifesta que per cada z entre x i y, el punt (z, f( z) ) del gràfic de f és damunt la recta que uneix els punts (x, f(x) ) i (y, f ( y) ).

 

Una funció contínua en C és còncava si i només si

 

per a qualsevol x i y de C.

Una funció diferenciable f és còncava en un interval si la seva funció derivada f ′ és monòtona decreixent en aquell interval: una funció còncava té un pendent que disminueix. ("Decreixent" aquí vol dir "no-creixent", en comptes de "estrictament decreixent", i per tant admet pendents nul·les.)

PropietatsModifica

Per a una funció dues vegades diferenciable f, si la derivada segona, f ′′(x), és positiva (o, si l'acceleració és positiva), llavors el gràfic és convex; si f′′(x) és negativa, llavors el gràfic és còncau. Els Punts on canvia la concavitat són punts d'inflexió.

Si una funció convexa té un "fons", qualsevol punt en el fons és un mínim. Si una funció convexa té un "àpex", qualsevol punt a l'àpex és un màxim.

Si f (x) és dues vegades diferenciable, llavors f (x) és còncava si i només si f ′′(x) és no positiva. Si la seva derivada segona és negativa llavors és estrictament còncava, però el contrari no és cert, com es veu en f (x) = - x 4.

Una funció s'anomena quasicòncava si i només si hi ha un   tal que per a tot  ,   és no-decreixent mentre que per a tot   és no-creixent.   també pot ser  , fent que la funció no-decreixi (no creixi) per tot  . També, una funció f s'anomena quasiconvexa si i només si −f és quasicòncava.

ExemplesModifica

  • Les funcions   i   són còncaves, donat que la seva derivada segona és sempre negativa.
  • Qualsevol funció lineal   és tant còncava com convexa.
  • La funció   és còncava a qualsevol interval de la forma   on   és un enter.
  • La funció  , on   és el determinant de la matriu B, és.[2]

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. «Funció còncava». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. còncava. Thomas M. Cover and J. A. Thomas «Determinant inequalities via information theory». SIAM journal on matrix analysis and applications, 9, 1988, pàg. 384–392.
  • Rao, Singiresu S. Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons, 2009, p. 779. ISBN 0470183527.