Conjunt convex

En l'espai euclidià, un objecte és convex si per a tots els parells de punts dins de l'objecte, tots els punts del segment recte que els uneix també estan dins de l'objecte. Per exemple, un cub sòlid és convex, en canvi un conjunt amb un espai buit interior o que té un bony no ho és, per exemple, una forma de mitja lluna, no és convexa.

Un conjunt convex.

Un conjunt no convex.

En geometria euclidiana

Una funció (en blau) és convexa si i només si la regió de damunt de la seva gràfica (en verd) és un conjunt convex.

Sia C un conjunt en un espai vectorial real o complex. Es diu que C és convex si, per a tot el x i y de C i tot t en l'interval [0,1], el punt

(1 − t) y + t x

pertany a C. En altres paraules, tots els punts en el segment lineal que connecta x i y són de C. Això implica que un conjunt convex en un espai vectorial topològic real o complex és connex.

Es diu que un conjunt C és absolutament convex si és convex i equilibrat.

Els subconjunts convexos de R (el conjunt de nombres reals) són els intervals de R. Alguns exemples de subconjunts convexos de l'espai euclidià de dues dimensions són els polígons regulars i les corbes d'amplada constant. Alguns exemples de subconjunts convexos de l'espai euclidià de tres dimensions són els sòlids arquimedians i els sòlids platònics. Els políedres de Kepler-Poinsot són exemples de conjunts no convexos.

Propietats

Si $S$ és un conjunt convex, per a qualsevol $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ de $S$, i qualsevol nombres no negatius $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ tals que $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1$, es compleix que el vector $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$ pertany a $S$. Tot vector d'aquest tipus s'anomena combinació convexa de $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$.

La intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts convexos és convexa, així els subconjunts convexos d'un espai vectorial (real o complex) formen un reticle complet. Això també significa per a qualsevol subconjunt A de l'espai vectorial existeix el conjunt convex més petit que el conté (anomenat l'embolcall convex d'A), és a dir que és la intersecció de tots els conjunts convexos que contenen A.

Els conjunts convexos tancats es poden caracteritzar com les interseccions de semiespais tancats (conjunts de punts de l'espai que són o bé damunt o bé a un costat d'un hiperplà). A partir del que s'acaba de dir, és clar que tals interseccions són convexes, i també seran conjunts tancats. Per demostrar el reciproc, és a dir que cada conjunt convex es pot representar com una intersecció d'aquest tipus, es necessita el teorema de l'hiperplà de suport en la forma que per a un conjunt convex tancat C donat i un punt P extern al conjunt, hi ha un semiespai tancat H que conté C i no P. El teorema de l'hiperplà de suport és un cas especial del teorema Hahn-Banach de l'anàlisi funcional.

Conjunts convexos estelats

Aquest conjunt no és convex però és un estel convex, perquè el segment entre el punt x₀ i qualsevol altre punt x del conjunt està contingut al conjunt.

Sia C un conjunt en un espai vectorial real o complex. C és un estel convex si existeix un x₀ de C tal que el segment de recta des de x₀ fins a qualsevol y de C està contingut a C. Per tant un conjunt convex no buit és sempre convex estelat però un conjunt convex estelat no sempre és convex.

Generalitzacions i extensions de la convexitat

La idea de convexitat en l'espai euclidià es pot generalitzar modificant la definició en uns o altres aspectes. Es fa servir el nom de "convexitat generalitzada", perquè els objectes que resulten retenen certes propietats dels conjunts convexos.

Convexitat ortogonal

Un exemple de convexitat generalitzada és la convexitat ortogonal.

Un conjunt S en l'espai euclidià s'anomena ortogonalment convex, si qualsevol segment paral·lel a qualsevol dels eixos de coordenades que connecti dos punts de S roman totalment dins de S. És fàcil de demostrar que la intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts ortogonalment convexos és ortogonalment convexa. Algunes altres propietats dels conjunts convexos també es compleixen.

Geometria no euclidiana

La definició d'un conjunt convex i d'un embolcall convex s'estén de manera natural a la geometria no euclidiana definint un conjunt convex geodèsic com el que conté tots els punts dels segments de geodèsiques que uneixen qualsevol parella de punts del conjunt.

Topologia d'ordre

La convexitat es pot estendre per a un espai X dotat de la topologia d'ordre, fent servir l'ordre total $<$ de 'espai.

Sia $Y\subseteq X$. El subespai $Y$ és un conjunt convex si per a tots els parells de punts $a,b\in Y$ tals que $a<b$, l'interval $\left(a,b\right)=\left\{x\in X:a<x<b\right\}$ està contingut en $Y$. És a dir, $Y$ és convex si i només si $\forall a,b\in Y,\left(a,b\right)\subseteq Y$.

Convexitat abstracta (axiomàtica)

La idea de convexitat es pot generalitzar a uns altres objectes, si certes propietats de convexitat se seleccionen com axiomes.

Donat un conjunt X, una convexitat sobre X és una col·lecció \mathcal{C} de subconjunts de X que satisfan els següents axiomes:

1. El conjunt buit i X són a ${\mathcal {C}}$
2. La intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts de ${\mathcal {C}}$ és de ${\mathcal {C}}$.
3. La unió d'una cadena (respecte de la relació d'inclusió) d'elements de ${\mathcal {C}}$ és de ${\mathcal {C}}$.

Els elements de ${\mathcal {C}}$ s'anomenen conjunts convexos i la parella (X, ${\mathcal {C}}$) s'anomena un espai de convexitat. Per a la convexitat ordinària, els primers dos axiomes es compleixen, i el terç un és trivial.

Per a una definició alternativa de convexitat abstracta, més adequada a la geometria discreta, veure les geometries convexes associades amb animatroides.

Vegeu també

• Funció convexa

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Conjunt convex