Políedre arquimedià

(S'ha redirigit des de: Sòlids arquimedians)

En geometria, un políedre arquimedià o semiregular és un poliedre convex les cares del qual estan formades per dos o més tipus de polígons regulars tal que els seus vèrtexs són homogenis. També es requereix que el políedre no sigui ni un prisma ni un antiprisma. Els políedres arquimedians són 13, i es diferencien dels sòlids platònics (o regulars), en què totes les cares dels sòlids platònics són iguals i dels sòlids de Johnson, en què els vèrtexs d'aquests últims no són homogenis.

DefinicióModifica

Un políedre arquimedià o semiregular és un políedre convex que satisfà les següents propietats:

  1. Les seves cares són polígons regulars.
  2. Els seus vèrtexs són homogenis: és a dir, per cada parell de vèrtexs hi ha una simetria del sòlid que transforma el primer en el segon.
  3. No és ni un sòlid platònic ni un prisma ni un antiprisma.

Un sòlid aquimedià té almenys dos tipus de cares diferents: els sòlids que satisfan les dues primeres propietats i que només tenen un tipus de cara són els sòlids platònics (o regulars). Els sòlids arquimedians, per tant en un cert sentit són els sòlids més "regulars" després dels platònics (d'aquí el terme "semiregulars").

Els prismes i els antiprismes no són considerats tradicionalment arquimedians, encara que compleixin les dues primeres propietats. Els prismes i els antiprismes difereixen qualitativament dels sòlids d'Arquimedes per dos factors:

  1. Els prismes i els antiprismes formen dues famílies de sòlids infinites, mentre que els sòlids d'Arquímedes són en nombre finit (13)
  2. Els prismes i els antiprismes permeten "unes poques" simetries (el seu grup de simetria és el grup diedre, un grup "més senzill" que els grups de simetria dels sòlids arquimedians).

Origen del nomModifica

Els políedres arquimedians deuen el seu nom a Arquimedes, qui els va estudiar en un treball ara perdut. Durant el Renaixement diversos artistes matemàtics, que tornaren a valorar les formes pures varen redescobir tots aquests políedres rics en simetries. Aquesta recerca fou completada entorn del 1619 per Kepler, que va redefinir prisma, antiprisma i dos dels políedres regulars no convexos avui en dia anomenats sòlids de Kepler-Poinsot.

CaracterístiquesModifica

VèrtexsModifica

Donat que els vèrtexs són homogenis, són tots iguals. Més concretament, les cares incidents a un vèrtex són iguals i en el mateix ordre que les incidents a qualsevol altre (es poden obtenir unes de les altres per mitjà de rotacions).

ArestesModifica

Les arestes d'un poliedre arquimedià tenen totes la mateixa longitud: això és degut al fet que les cares són totes polígo regulars. La longitud a d'una aresta és un paràmetre que determina la mida total del políedre: els canvis de a transformen el poliedre per semblança. En conseqüència, el volum i la superfície d'un poliedre arquimedià es calculen en funció de a.

ClassificacióModifica

Hi ha tretze sòlids arquimedians, dos dels quals són quirals, és a dir que no és equivalents a la seva imatge especular: Per aquesta raó, en alguns contextos aquests políedres es compten dues vegades i es parla de 15 sòlids arquimedians. A la taula següent per configuració dels vèrtexs s'entén la successió de nombres dels costats que caracteritzen les polígons regulars que incideixen a cada vèrtex. Per exemple, la configuració (4,6,8) significa que a cada vèrtex hi incideix un quadrat, un hexàgon i un octògon; la successió es determina resseguint el vèrtex en sentit horari. El grup de simetria del sòlid Oh, Ih i Td és respectivament el grup de simetria de l'octàedre, l'icosàedre i el tetràedre. Els grups O i I són els subgrups respectivament de Oh i Ih formats per les simetries que preserven l'orientació.

Nom
(Configuració dels vèrtexs)
Transparent Sòlid Desenvolupament pla Cares Cares
(Per tipus)
Arestes Vèrtexs Grup de simetria
tetràedre truncat
(3.6.6)
 
(Animació)
    8 4 triangles
4 hexàgons
18 12 Td
cuboctàedre
(rombitetratetràedre)
(3.4.3.4)
 
(Animació)
     14  8 triangles
6 quadrats
24 12 Oh
cub truncat

(3.8.8)
 
(Animació)
    14 8 triangles
6 octàgons
36 24 Oh
octàedre truncat
(tetratetràedre truncat)
(4.6.6)
 

(Animació)

    14 6 quadrats
8 hexàgons
36 24 Oh
rombicuboctàedre
(petit rombicuboctàedre)

(3.4.4.4 )
 
(Animació)
    26 8 triangles
18 quadrats
48 24 Oh
cuboctàedre truncat
(gran rombicuboctàedre)
(4.6.8)
 
(Animació)
    26 12 quadrats
8 hexàgons
6 octàgons
72 48 Oh
cub xato
(cuboctàedre xato)

(2 formes quirals)
(3.3.3.3.4)
 
(Animació)
 
(Animació)
    38 32 triangles
6 quadrats
60 24 O
icosidodecàedre
(3.5.3.5)
 
(Animació)
    32 20 triangles
12 pentàgons
60 30 Ih
dodecàedre truncat
(3.10.10)
 
(Animació)
    32 20 triangles
12 decàgons
90 60 Ih
icosàedre truncat


(5.6.6 )
 
(Animació)
    32 12 pentàgons
20 hexàgons
90 60 Ih
rombicosidodecàedre
(petit rombicosidodecàedre)

(3.4.5.4)
 
(Animació)
    62 20 triangles
30 quadrats
12 pentagons
120 60 Ih
icosidodecàedre truncat
(gran rombicosidodecàedre)

(4.6.10)
 
(Animació)
    62 30 quadrats
20 hexàgons
12 decàgons
180 120 Ih
dodecàedre xato
(icosidodecàedre xato)
(2 formes quirals)
(3.3.3.3.5)
 
(Animació)
 
(Animació)
    92 80 triangles
12 pentàgons
150 60 I

Poliedres quasiregularsModifica

Els dos primers políedres, el cuboctàedre i el icosidodecàedre, tenen fins i tot les arestes homogènies: per cada parell d'arestes hi ha una simetria del políedre que mou la primera en la segona. Els políedres amb aquesta propietat s'anomenen quasiregulars (no confondre amb semiregulars, sinònim d'arquimedians).

Políedres quiralsModifica

El cub xato i el dodecàedre xato són poliedres quirals, políedres que no són equivalents a la seva imatge especular. Aquestes presenten dues formes, levomorfa i dextromorfa, que, com les mans, es transformen l'una en l'altra per una reflexió respecte d'un pla.

Políedres dualsModifica

Els políedres duals dels políedres arquimedians s'anomenen sòlids de Catalan. La relació de dualitat intercanvia els papers dels vèrtexs i de les cares: com que els políedres arquimedians tenen els vèrtexs homogenis (però no les cares), els de Catalan tenen les cares homogènies (però no els vèrtexs).

BibliografiaModifica

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett. Feltrinelli. I modelli matematici, 1974. 
  • Dedò, Maria. Decibel & Zanichelli. Forme, simmetria e topologia, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Políedre arquimedià