Complex de cadenes

A àlgebra abstracta un conjunt consistent en estructures algebraiques Ai (ja siguin grups abelians, anells, mòduls, ...) i morfismes (segons sigui la categoria), es diu complex de cadenes o complex homològic si la construcció

satisfà per a tot n. Aquesta condició implica . Aquest concepte és clau per entendre el que és l'homologia.

NotacióModifica

El símbol   s'utilitza per a designar al parell  .

HomologiaModifica

Les estructures quocient

 

s'anomenen espais d'homologia del complex de cadenes  .

Aquesta última construcció és l'origen de l'àlgebra homològica i té nombroses aplicacions en altres disciplines de la matemàtica com ara a la topologia algebraica, que la compta com una de les seves principals eines.

Morfisme entre complexosModifica

 
El morfisme de complexos  . La condició de morfisme de complexos demana que el diagrama sigui commutatiu.

Un morfisme (de grau zero) entre dos complexos   i   és un conjunt   de morfismes entre les estructures algebraiques   tals que  . Simbòlicament   indica el mateix.

Un morfisme de grau d correspon a una família de morfismes   amb la mateixa propietat  

Com a categoriaModifica

Des del punt de vista de teoria de categories tenim ben definida la categoria de complexos de cadenes amb els morfismes de complexos.

Una aplicació d'aquesta categoria és que les principals teories de la topologia algebraica com ara l'homologia singular són veritables functors, perquè assignen a un parell topològic (X, A) una família de grups abelians   que formaran un complex de cadenes

 

i on una aplicació contínua   entre parells topològics indueix un conjunt de morfismes

 

amb les propietats suficients per a considerar-los un morfisme de complexos.

BibliografiaModifica

Vegeu tambéModifica