Constant de Catalan

En matemàtiques, la constant de Catalan (denotada K (en aquest article),  G (per exemple, Borwein et al. 2004, p. 49), o C (Wolfram Language)), anomenada així en honor del matemàtic franco-belga Eugène Charles Catalan, és el nombre definit per:

$K=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots$

on $\beta$ és la funció beta de Dirichlet.

El seu valor numèric és aproximadament:

$K=0,915965594177219015054603514932384110774...$(seqüència A006752, OEIS)

No se sap si $K$ és irracional, i molt menys transcendent.

Concretament, la constant de Catalan es defineix com el valor numèric de la següent integral:

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}K(k)\ dk={\frac {1}{2}}\int _{k=0}^{1}\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {d\theta \ dk}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots =0,915965594...$

on $K(k)\;$ és la integral el·líptica de primera espècie.

La sèrie similar, però aparentment més complicada

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}-\cdots$

es pot avaluar exactament i val $\pi ^{3}/32$ .

Identitats integrals

Algunes identitats que impliquen integrals definides inclouen:

${\begin{aligned}K&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]K&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]K&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]K&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,dt\\[3pt]K&={\tfrac {1}{4}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]K&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]K&=-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \tan t\,dt\\[3pt]K&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\sec t+\tan t)\,dt\\[3pt]K&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]K&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]K&=\int _{0}^{\infty }\arctan e^{-t}\,dt\\[3pt]K&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]K&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {(t^{4}-6t^{2}+1)\ln \ln t}{(1+t^{2})^{3}}}\,dt\\[3pt]K&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {(1+6t^{2}+t^{4})\arctan {t}}{t(1-t^{2})^{2}}}\,dt+2\operatorname {arctanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]K&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin(2xy/\pi )}{\,(x^{2}+\pi ^{2})\cosh x\sinh y\,}}\,dxdy\end{aligned}}$

on les últimes tres fórmules estan relacionades amb les integrals de Malmsten.

Si $K(k)$ és la integral el·líptica completa de primera espècia, com a funció del mòdul el·líptic $k$, llavors

$K={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk$

Amb la funció gamma $\Gamma (x+1)=x!$

${\begin{aligned}K&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}$

La integral

$K=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$

és una funció especial coneguda, anomenada integral tangent inversa, i estudiada àmpliament per Srinivasa Ramanujan.

Usos

$K$ apareix en combinatòria, així com en valors de la segona funció poligamma, també anomenada funció trigamma, a arguments fraccionaris:

${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8K\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8K.\end{aligned}}$

Simon Plouffe ofereix una col·lecció infinita d'identitats entre la funció trigamma, $\pi ^{2}$ i la constant de Catalan; aquestes es poden expressar com a camins en un graf.

En la topologia en dimensions baixes, la constant de Catalan és un múltiple racional del volum d'un octàedre hiperbòlic ideal i, per tant, del volum hiperbòlic del complement de la baula de Whitehead.

També apareix en relació amb la distribució hiperbòlica secant.

Relació amb altres funcions especials

La constant de Catalan es produeix amb freqüència en relació amb la funció de Clausen, la integral tangent inversa, la integral de sinus inversa, la funció G-Barnes, així com les integrals i les sèries que es poden sumar en funció de les funcions esmentades.

Com a exemple concret, expressant primer la integral tangent inversa en la seva forma tancada (en termes de funcions Clausen) i després expressant les funcions Clausen en termes de la funció G-Barnes, s'obté la següent expressió (vegeu la funció de Clausen per a més informació) :

$K=4\pi \log \left({\frac {K\left({\frac {3}{8}}\right)K\left({\frac {7}{8}}\right)}{K\left({\frac {1}{8}}\right)K\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right)$.

Si es defineix el transcendent de Lerch $\Phi (z,s,\alpha )$ (relacionat amb la funció zeta de Lerch) per

$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},$

llavors

$K={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).$

Sèries de convergència ràpida

Les dues fórmules següents impliquen sèries de convergència ràpida i, per tant, són adequades per al càlcul numèric:

${\begin{aligned}K&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$

i

$K={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Els fonaments teòrics d'aquesta sèrie es donen per Broadhurst, per a la primera fórmula, i Ramanujan, per a la segona fórmula. Els algorismes per a l'avaluació ràpida de la constant de Catalan van ser construïts per E. Karatsuba.

Dígits coneguts

El nombre de dígits coneguts de la constant de Catalan (K) ha augmentat de manera espectacular durant les últimes dècades. Això es deu tant a l'augment de rendiment de les computadores com a les millores algorítmiques.

Nombre de dígits decimals coneguts de la constant de Catalan

Data	Dígits decimals	Càlcul realitzat per...
1832	16	Thomas Clausen
1858	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864	14	Eugène Charles Catalan
1877	20	James W. L. Glaisher
1913	32	James W. L. Glaisher
1990	20.000	Greg J. Fee
1996	50.000	Greg J. Fee
1996 (14 d'agost)	100.000	Greg J. Fee i Simon Plouffe
1996 (29 de setembre)	300.000	Thomas Papanikolaou
1996	1.500.000	Thomas Papanikolaou
1997	3.379.957	Patrick Demichel
1998 (4 de gener)	12.500.000	Xavier Gourdon
2001	100.000.500	Xavier Gourdon i Pascal Sebah
2002	201.000.000	Xavier Gourdon i Pascal Sebah
2006 (octubre)	5.000.000.000	Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo
2008 (agost)	10.000.000.000	Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo
2009 (31 de gener)	15.510.000.000	Alexander J. Yee i Raymond Chan
2009 (16 d'abril)	31.026.000.000	Alexander J. Yee i Raymond Chan
2015 (7 de juny)	200.000.001.100	Robert J. Setti
2016 (12 d'abril)	250.000.000.000	Ron Watkins
2019 (16 de febrer)	300.000.000.000	Tizian Hanselmann
2019 (29 de març)	500.000.000.000	Mike A i Ian Cutress

Bibliografia

• Adamchik, V. «Integral and Series Representations for Catalan's Constant» (en anglès). Arxivat de l'original el 2011-09-15. [Consulta: 26 juny 2019].
• Adamchik, V. «Thirty-Three Representations of Catalan's Constant» (en anglès).
• Flajolet, P.; Vardi, I. «Zeta Function Expansions of Classical Constants» (en anglès), 1996.
• Lupas, A. «Proceedings of ROGER-2000. Formulae for Some Classical Constants» (PDF) (en anglès), 2000. Arxivat de l'original el 2008-04-16. [Consulta: 26 juny 2019].
• Mc Laughlin, J. «An Integral for Catalan's Constant» (en anglès), 27-09-2007.
• Plouffe, S. «Table of Current Records for the Computation of Constants» (en anglès). Arxivat de l'original el 2013-05-31. [Consulta: 26 juny 2019].
• Rivoal, T.; Zudilin, W. «Diophantine Properties of Numbers Related to Catalan's Constant» (PDF) (en anglès). Math. Ann., 326, 2003, pàg. 705-721. Arxivat de l'original el 2011-01-13 [Consulta: 26 juny 2019].Arxivat 2011-01-13 a Wayback Machine.
• Zudilin, W. «An Apéry-Like Difference Equation for Catalan's Constant» (en anglès). Electronic J. Combinatorics p. 1-10, 2003.

Vegeu també

• Constant matemàtica
• Constant zeta
• Nombre de Catalan

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Catalan constant. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld
• Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
• catalan's constant — www.cs.cmu.edu