Funció zeta de Lerch

Funció especial

En matemàtiques, la funció zeta de Lerch, de vegades anomenada funció zeta de Hurwitz-Lerch, és una funció especial que generalitza la funció zeta de Hurwitz i el polilogaritme. Porta el nom del matemàtic txec Matyáš Lerch (1860-1922)[1]

Definició

modifica

La funció zeta de Lerch ve donada per

 

Una funció relacionada, el transcendent de Lerch, ve donada per

 

Les dues funcions estan relacionats, tal com

 

Representacions integrals

modifica

Una representació integral ve donada per

 

per a

 

Una representació integral de contorn ve donada com

 

per a

 

on el contorn no ha de tancar cap dels punts  

Hi ha una representació integral semblant a l'integral d'Hermite

 

per a

 

i

 

per a

 

Representacions semblants incluen

 

i

 

sostenint per z positiu (i més generalment allà on conflueixen les integrals). A més,

 

Aquesta última fórmula també es coneix com a fórmula de Lipschitz.

Casos especials

modifica

La funció zeta de Hurwitz és un cas especial, donat per

 

El polilogaritme és un cas especial de la funció zeta de Lerch, donat per

 

La funció khi de Legendre és un cas especial, donat per

 

La funció zeta de Riemann ve donada per

 

La funció eta de Dirichlet ve donada per

 

Identitats

modifica

Per a λ racional, la suma és una arrel de la unitat, i per tant   es pot expressar com una suma finita sobre la funció zeta de Hurwitz. Suposem   amb   i  . Llavors   i  .

 

Diverses identitats inclouen:

 

i

 

i

 

Representacions en sèries

modifica

Una representació en sèries per al transcendent de Lerch ve donada per

 

(Vegeu que  és un coeficient binomial).

La sèrie és vàlida per a totes s, i per a z complex amb Re(z)<1/2. Vegeu que hi ha una semblança general amb una representació en sèries similar per a la funció zeta de Hurwitz.

Arthur Erdélyi va donar una sèrie de Taylor al primer paràmetre. Es pot escriure com a la sèrie següent, que és vàlida per a:[2]

 
 

Si s és un nombre enter positiu, llavors

 

on   és la funció digamma.

Una sèrie de Taylor amb una tercera variable ve donada per

 

on   és el símbol de Pochhammer.

La sèrie a = -n ve donada per

 

Un cas especial per a n = 0 té la següent sèrie

 

on   és el polilogaritme.

Una sèrie asimptòtica per a  

 

per a  , i

 

per a  

Una sèrie asimptòtica en la funció gamma incompleta

 

per a  

Expansió asimptòtica

modifica

La funció polilogarítmica   es defineix com

 

Sigui

 

Per a   i  , una expansió asimptòtica de   per a grans   i   fixes i   és donada per

 

per a  .[3]

Sigui

 

Fem que   siguin els seus coeficients de Taylor a  . Aleshores, per a solucions   i  ,

 

com  .[4]

Programari

modifica

El transcendent de Lerch està implementat a LerchPhi in Maple.

Referències

modifica
  1. «Matyáš Lerch» (en anglès). Math Story.
  2. Johnson, B. R. «Generalized Lerch zeta-function» (en anglès). Pacific J. Math., 53(1), 1974, pàg. 189–193. DOI: 10.2140/pjm.1974.53.189.
  3. Ferreira, Chelo; López, José L. «Asymptotic expansions of the Hurwitz–Lerch zeta function» (en anglès). Journal of Mathematical Analysis and Applications, 298(1), Octubre 2004, pàg. 210–224. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.05.040.
  4. Cai, Xing Shi; López, José L. «A note on the asymptotic expansion of the Lerch's transcendent» (en anglès). Integral Transforms and Special Functions, 10-06-2019, pàg. 1–12. arXiv: 1806.01122. DOI: 10.1080/10652469.2019.1627530.

Bibliografia

modifica

Enllaços externs

modifica