Funció digamma

Funció matemàtica meromorfa
No s'ha de confondre amb Funció gamma doble.

En matemàtiques, la funció digamma es defineix com la derivada logarítmica de la funció gamma:[1][2]

Representació de la funció digamma restringit als reals.
Representació en color de la funció digamma, , en una regió rectangular del pla complex

És la primera de les funcions poligamma.

La funció digamma sovint es denota com a , o Ϝ (la forma en majúscula de la consonant grega arcaica digamma, que significa doble gamma).

Història i notacions modifica

Seguint el treball d'Euler sobre la funció gamma, James Stirling va introduir la funció digamma en 1730, denotant-la Ϝ, la lletra grega digamma (majúscula). Més tard va ser estudiada per Legendre, Poisson i Gauss al voltant de 1810; la convergència de la sèrie de Stirling per a aquesta funció va ser demostrada per Stern en 1847.[3]

Actualment se sol denotar amb la lletra   (psi minúscula).

Motivació modifica

Considerant la funció gamma com una generalització formal del factorial (més precisament,  ), es pot deduir de la mateixa manera que de forma formal, utilitzant les propietats de la derivada logarítmica, obtenim

 

on   és el n-èsim nombre harmònic.

Així, la funció digamma podria definir una generalització dels nombres harmònics als complexos. Una fórmula exacta per a  , gairebé confirmant el càlcul anterior, s'obté de forma més baixa estrictament per a   enter.

Propietats modifica

La funció digamma és una funció meromorfa definida en tot el pla complex privat dels enters negatius.

La definició d'Euler de la funció gamma en forma integral mostra que per a qualsevol nombre complex   d'una part real estrictament positiva,

 

Així,

 , on   és la constant d'Euler-Mascheroni.

D'altra banda,   per tant tenim (al derivar) la relació de recurrència

 

de fet, el teorema de Bohr-Mollerup mostra que la funció digamma és l'única solució de l'equació funcional

 

que és monòtona sobre + i que verifica  

A partir d'això, es dedueix que la funció digamma d'un enter  , sovint denotat també   o fins i tot  ,[4] està connectada als nombres harmònics per

 

on   és el (n – 1)-ésim nombre harmònic.

La funció digamma també satisfà una fórmula de reflexió similar a la de la funció gamma: per a qualsevol nombre complex   la part real del qual sigui estrictament entre   i  ,

 

Existeixen altres representacions per integrals. Per tant, si la part real de   és positiva, tenim:

 

que també podem escriure

 

Relació amb els nombres harmònics modifica

La funció gamma obeeix a l'equació

 

Prenent la derivada pel que fa a   dona:

 

Dividint per  , o l'equivalent  , dona:

 

o:

 

Atès que els nombres harmònics es defineixen com

 

la funció digamma està relacionada amb ells per:

 

on   és el n-èsim nombre harmònic, i   és la constant d'Euler-Mascheroni. Per als valors de mig enters, es pot expressar com a

 

Representació en integrals modifica

Si la part real de   és positiva, la funció de digamma té la següent representació integral

 

Això també es pot escriure com

 

que es dedueix de la fórmula integral de Leonhard Euler per als nombres harmònics.

Representació en producte infinit modifica

La funció   és una funció entera,[5] i pot ser representada per un producte infinit

 

Aquí   és el k-èsim zero   (vegeu més avall), i   és la constant d'Euler-Mascheroni.

Representació en sèries modifica

La funció digamma es pot calcular al pla complex fora dels enters negatius (Abramowitz i Stegun 6.3.16),[1] utilitzant

 

o

 

Això es pot utilitzar per avaluar sumes infinites de funcions racionals, és a dir,

 

on   i   són polinomis de  .

Realitzant una fracció parcial   en el camp complex, en el cas en què totes les arrels de   siguin arrels simples, llavors

 

Per a la convergència de la sèrie,

 

en cas contrari la sèrie serà més gran que la sèrie harmònica i, per tant, divergirà. Per tant

 

i

 

Amb el desenvolupament de la sèrie de funció poligamma de rang superior, es pot donar una fórmula generalitzada com

 

sempre que la sèrie de l'esquerra convergeixi.

Representació en sèrie de Taylor modifica

La funció digamma té una sèrie zeta racional, donada per la sèrie de Taylor en  . Aquesta és

 

que convergeix per a  . Aquesta,   és la funció zeta de Riemann. Aquesta sèrie es deriva fàcilment de la corresponent sèrie de Taylor per a la funció zeta de Hurwitz.

Representació en sèrie de Newton modifica

La sèrie de Newton per a la digamma es desprèn de la fórmula de la integral d'Euler:

 

on  és el coeficient binomial:  .

Fórmula de reflexió modifica

La funció digamma satisfà una fórmula de reflexió similar a la de la funció gamma:

 

Fórmula de recurrència modifica

La funció digamma satisfà la relació de recurrència

 

Per tant, es pot dir «telescopi»  , quan

 

on   és l'operador de diferència progressiva. Això satisfà la relació de recurrència d'una suma parcial de la sèrie harmònica, el que implica la fórmula

 

on   és la constant d'Euler-Mascheroni.

En general, s'obté

 

En realitat,   és l'única solució de l'equació funcional

 

que és monòtona en + i satisfà  . Aquest fet es dedueix de la unicitat de la funció   donada la seva equació de recurrència i la restricció de convexitat. Això implica l'equació de la diferència útil:

 

Algunes sumes finites que inclouen la funció digamma modifica

Existeixen nombroses fórmules de sumes finites per a la funció digamma. Algunes fórmules de sumes finites bàsiques són:

 
 
 
 

que es deuen a Gauss.[6][7] Altres fórmules, més complexes, són

 
 
 
 
 
 
 

es deuen a treballs de certs autors moderns (vegeu per exemple Appendix B de Blagouchine (2014)).[8]

Teorema de la digamma de Gauss modifica

Per als nombres enters positius   i   ( ), la funció digamma es pot expressar en termes de la constant d'Euler-Mascheroni i un nombre finit de funcions elementals

 

que es manté, per raó de la seva equació de recurrència, per a tots els arguments racionals.

Càlcul aproximat modifica

Segons la fórmula d'Euler-Maclaurin aplicada a[9]

 

la funció digamma per a  , un nombre real, es pot aproximar per

 

que és el començament del desenvolupament asimptòtic de  . La sèrie asimptòtica completa d'aquests desenvolupaments és

 

on   és el k-ésim nombre de Bernoulli i   és la funció zeta de Riemann. Encara que la suma infinita no convergeix per a cap  , aquest desenvolupament es fa més precisa per a valors més grans de   i qualsevol suma parcial finita extreta de la sèrie completa. Per calcular   per   petit, la relació de recurrència és

 

es pot utilitzar per canviar el valor de   a un valor superior. Beal[10] suggereix utilitzar la recurrència anterior per canviar   a un valor superior a   i aplicar l'anterior desenvolupament amb els termes anteriors   tallats, el que produeix «més que suficient precisió» (almenys 12 dígits, excepte prop del zero).

Com   tendeix cap a l'infinit,   s'aproxima arbitràriament tant a   com a  . Si es baixa de   a  ,   disminueix en  ,   disminueix amb  , que és més que  , i   disminueix amb  , que és inferior a  . D'això veiem que per a qualsevol positiva   major que  ,

 

o, per a qualsevol   positiva,

 

L'exponencial   és aproximadament   al llarg de  , però s'acosta més a   quan   és més petit, aproximant-se a   en  .

Per  , podem calcular límits en funció del fet que entre   i  ,  , d'aquesta manera

 

o

 

A partir de la sèrie asimptòtica anterior per  , es pot derivar una sèrie asimptòtica per  . La sèrie coincideix bé amb el comportament general, és a dir, es comporta de forma asimptòtica com per grans arguments, i també té un zero de multiplicitat il·limitada a l'origen.

 

Això és similar al desenvolupament de la sèrie de Taylor   en  , però no convergeix. (La funció no és analítica a l'infinit). Existeix una sèrie similar per a   que comença amb  

Si es calcula la sèrie asimptòtica per a  , resulta que no hi ha potències senars de   (no hi ha terme  ). Això condueix al següent desenvolupament asimptòtic, que estalvia computar termes d'ordre parell.

 

Valors especials modifica

La funció digamma té valors en forma tancada per a nombres racionals, com a resultat del teorema de la digamma de Gauss. Alguns es detallen a continuació:

 

A més, per la representació de la sèrie, es pot deduir fàcilment que la unitat imaginària,

 

Arrels de la funció digamma modifica

Les arrels de la funció digamma són els punts de la cadira de muntar de la funció gamma de valors complexos. Així, es troben tots a l'eix real. L'únic en l'eix real positiu és l'únic valor mínim de la funció gamma de valors reals en + en x0 = 1,461632144968 ... Tots els altres tenen lloc entre els pols de l'eix negatiu:

 

Al voltant de 1881, Charles Hermite va observar que[11]

 

es manté asimptòticament. Es proporciona una millor aproximació de la ubicació de les arrels

 

i utilitzant un terme addicional, es torna encara millor

 

que tant surt en la fórmula de reflexió a través de

 

i substituint   per al seu desenvolupament asimptòtic no convergent. El segon terme correcte d'aquest desenvolupament és  , funciona bé per aproximar-se a les arrels amb un petit  .

Es pot donar una altra millora amb el polinomi d'Hermite:[5]

 

Pel que fa als zeros, István Mező i Michael Hoffman han demostrat recentment les següents identitats de suma infinita:[5]

 

En general, la funció

 

es pot determinar i és estudiat en detall pels autors citats.

Els resultats següents[5]

 

també és veritat.

Aquí   és la constant d'Euler-Mascheroni.

Regularització modifica

La funció digamma apareix en la regularització d'integrals divergents

 

aquesta integral pot ser aproximada per una sèrie harmònica general divergent, però es pot adjuntar el següent valor a la sèrie

 

Referències modifica

  1. 1,0 1,1 «6.3 psi (Digamma) Function.». A: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 10th. Nova York: Dover, 1972, p. 258–259. 
  2. Weisstein, Eric W., «Digamma function» a MathWorld (en anglès).
  3. (anglès) Historique de la fonction digamma sur le site de Wolfram Research.
  4. És un cas de la notació particular   de les funcions poligamma.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 Mező, István; Hoffman, Michael E. «Zeros of the digamma function and its Barnes G-function analogue». Integral Transforms and Special Functions, 28, 2017, pàg. 846-858. DOI: 10.1080/10652469.2017.1376193.
  6. R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
  7. H.M. Srivastava and J. Choi. Series Associated with the Zeta and Related Functions, Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.
  8. Blagouchine, Iaroslav V. «A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations». Journal of Number Theory. Elsevier, 148, 2014, pàg. 537–592. arXiv: 1401.3724. DOI: 10.1016/j.jnt.2014.08.009.
  9. Bernardo, José M. «Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation». Applied Statistics, 25, 1976, pàg. 315–317.
  10. Matthew J., Beal «Variational Algorithms for Approximate Bayesian Inference» (PhD thesis) (en anglès). The Gatsby Computational Neuroscience Unit [University College London], 2003, pàg. 265–266.
  11. Hermite, Charles «Sur l'intégrale Eulérienne de seconde espéce,». Journal für die reine und angewandte Mathematik, 90, 1881, pàg. 332-338.

Vegeu també modifica

Enllaços externs modifica

  •   (successió A020759 a l'OEIS)
  •   (successió A047787 a l'OEIS)
  •   (successió A200064 a l'OEIS)
  •   (successió A020777 a l'OEIS)
  •   (successió A200134 a l'OEIS)
  •   a   (successió A200135 a l'OEIS) a (successió A200138 a l'OEIS)
  • Desenvolupament de Txebixov de la funció digamma en Wimp, Jet «Polynomial approximations to integral transforms». Math. Comp., 15, 1961, pàg. 174–178. DOI: 10.1090/S0025-5718-61-99221-3.