Polinomis d'Hermite
Els polinomis d'Hermite són un exemple de polinomis ortogonals que troben el seu principal àmbit d'aplicacions en mecànica quàntica, sobretot en l'estudi de l'oscil·lador harmònic unidimensional. Són nomenats així en honor de Charles Hermite.

DefinicióModifica
Els polinomis d'Hermite:
es defineixen com els polinomis d'Hermite probabilístics o, de vegades, com els polinomis d'Hermite físics:
Aquestes dues definicions no són exactament equivalents, una és un reescalat trivial de l'altra:
.
Els polinomis físics poden expressar-se com:
PropietatsModifica
OrtogonalitatModifica
és un polinomi de grau n, amb n = 0, 1, 2, 3,... Aquests polinomis són ortogonals respecte de la funció pes (mesura):
(probabilista)
o
(física)
és a dir,
(probabilista)
o
(física)
on δ ij és la delta de Kronecker, que val la unitat quan n = m i zero en un altre cas. Els polinomis probabilístics són ortogonals respecte de la funció de densitat de probabilitat normal.
Funció generadoraModifica
Fórmules de recurrènciaModifica
Els polinomis d'Hermite (en la seva forma "física") satisfan les següents relacions de recurrència:
Descomposició en sèrie de funcionsModifica
Tota funció f contínua pot expressar-se com sèrie infinita en termes de polinomis d'Hermite:
On les constants de l'anterior sèrie venen donades per:
Altres resultatsModifica
Equació diferencial d'HermiteModifica
Els polinomis d'Hermite són solucions de l'equació diferencial d'Hermite:[1]
que en forma canònica es pot escriure com:
ReferènciesModifica
- ↑ Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
BibliografiaModifica
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Polinomis d'Hermite |
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmules i taules de matemàtica aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7.