Obre el menú principal
Comparació de l'aproximació de Stirling amb el factorial

En matemàtiques, l'aproximació de Stirling (o fórmula de Stirling) és una aproximació pels factorials, que dóna un equivalent del factorial d'un enter natural n quan n tendeix a l'infinit:

que també s'escriu sovint així:

per tant, el nombre e és la base de l'exponencial.

És una aproximació de bona qualitat, donant lloc a resultats precisos fins i tot per a valors petits de n. Porta el nom de James Stirling, tot i que es va afirmar per primera vegada per Abraham de Moivre.[1][2][3]

La fórmula que es fa servir normalment en aplicacions és

, o

o, per exemple, en el pitjor dels casos del límit inferior per ordenació per comparació (pel canvi de la base del logaritme),

(en notació O Gran). El següent terme en O(ln n) és 1/2ln(2πn); per tant, una variant més precisa de la fórmula és

on el signe ~ vol dir que les dues quantitats són asimptòtiques, és a dir, la seva relació tendeix a 1 quan n tendeix a infinit.

També és possible donar una versió de la fórmula de Stirling amb els límits vàlids per a tots els enters positius n, en lloc de l'asimptòtica, que és

per a tots els nombres enters positius n. Així, la relació de és sempre entre i .

HistòriaModifica

La fórmula va ser descoberta per primera vegada per Abraham de Moivre [4] en la forma

 

on C és una constant real (diferent de zero).

De Moivre va donar una expressió per a la constant en termes del seu logaritme natural. La contribució de Stirling consisteix en mostrar que la constant és   i proporcionar un desenvolupament limitat de  .[3]

DemostracióModifica

La determinació de la constant no és immediata, però és fàcil de mostrar el resultat de De Moivre. La demostració clàssica de la fórmula asimptòtica es dóna en l'article sobre les integrals de Wallis.

  • Posant
     
és suficient per mostrar que la seqüència de (un) convergeix, i que el seu límit no és zero. O (un), estant en termes estrictament positius per n ≥ 1, es pot definir:
 
de manera que en utilitzar el desenvolupament limitat de ln (1 + x) en 0 a l'ordre 3, s'obté:
 
on es dedueix que la sèrie vn convergeix, per tant, escrivint vn en forma de sèrie telescòpica: vn = ln(un + 1) – ln(un), ens trobem que el següent ln(un) convergeix a un límit que observem L, de manera que el resultat (un) també, i cap al límit diferent de zero, exp(L), que volíem demostrar.
  • Per introduir el factor de Moivre, una altra manera de presentar és la següent: la fórmula d'Euler-Maclaurin aplicada a la funció ln entre 1 i n
     
    on llavors prenem l'exponencial i això dóna la idea del càlcul anterior.
  • Fins i tot es pot introduir el factor   pel mètode del descens ràpid. Aquest mètode és bastant potent i aplicant-la s'entén l'aparició de   i es pot trobar immediatament el resultat de Stirling.

Expansió asimptòticaModifica

Assumint el coeficient   ja conegut, la fórmula d'Euler-Maclaurin dóna l'expansió asimptòtica de ln (n!) prop d'infinit per l'ordre K ≥ 1 :

 

on Bi són els nombres de Bernoulli. Recordeu que la suma anterior no tendeixen a un límit finit quan K tendeix a infinit.

Sabent que, a banda de B1 (que no està involucrat en la fórmula), tots els nombres de Bernoulli de rang imparell són iguals a zero, podem reescriure l'expansió (en ordre 2K):

 

Es defineix la funció μ de Binet per fer tendir formalment K fins a l'infinit:

 

i això dona

 

Mitjançant el càlcul dels primers termes de eμ(n) través de la fórmula exponencial (que involucra als polinomis de Bell), tenim el desenvolupament asimptòtic de n! a prop de l'infinit:

 

És també l'expansió asimptòtica de la funció gamma.

Versió contínuaModifica

La fórmula anterior és una conseqüència, per al cas particular d'un argument sencer, la fórmula asimptòtica de Stirling per a la funció Γ d'Euler :

 

DerivacióModifica

La fórmula, juntament amb les estimacions precises del seu error, es pot derivar de la següent manera. En lloc d'aproximar a n!, es té en compte el seu logaritme natural, que és una funció que varia lentament:

 

El costat dret d'aquesta equació menys

 

és l'aproximació pel mètode trapezial de la integral

 

i l'error en aquesta aproximació està donada per la fórmula d'Euler-Maclaurin:

 

on Bk és un nombre de Bernoulli i Rm,n és el terme del residu en la fórmula d'Euler-Maclaurin. S'utilitzen límits per trobar que

 

Denotar aquest límit com y. A causa de que el residu Rm,n en la fórmula Euler-Maclaurin satisfà

 

on utilitzem la notació O Gran, combinant les equacions anteriors s'obté la fórmula d'aproximació en la seva forma logarítmica:

 

Prenent l'exponencial de tots dos costats, i triant qualsevol nombre enter positiu m, obtenim una fórmula que involucra una quantitat desconeguda ey. Per a m=1, la fórmula és

 

La quantitat ey es pot trobar prenent el límit en ambdós costats quan n tendeix a infinit i usant el producte de Wallis, el que demostra que ey =  . Per tant, obtenim la fórmula de Stirling:

 

La fórmula també pot obtenir-se per repetides integracions per parts, i el terme principal es pot trobar a través del mètode de Laplace.

La fórmula de Stirling, sense el factor  , que sovint és irrellevant en les aplicacions, es pot obtenir de forma ràpida mitjançant l'aproximació de la suma

 

amb una integral:

 

Una derivació alternativaModifica

Una fórmula alternativa per n! usant la funció gamma es

 

(apareix per repetides integracions per parts). Reescrivint i canviant les variables x = ny s'obté

 

Aplicant el mètode de Laplace tenim:

 

que recupera la fórmula de la Stirling,

 

Fent correccions addicionals també es poden obtenir utilitzant el mètode de Laplace. Per exemple, la comparació d'expansió de segon ordre usant el mètode de Laplace

 

i dóna la fórmula de Stirling de dos ordres,

 

Velocitat de convergència i estimacions d'errorModifica

 
(gràfic 1)
Error relatiu en una sèrie de Striling truncada respecte n, per 0 a 5 termes. Les torçades en les corbes representen els punts on la sèrie truncada coincideix amb Γ(n + 1)

La fórmula de Stirling és de fet la primera aproximació a la següent sèrie (que s'anomena sèrie de Stirling):

 

Una fórmula explícita per als coeficients d'aquesta sèrie va ser donada per G. Nemes.[5] El primer gràfic en aquesta secció (gràfic 1) es mostra l'error relatiu respecte n, per 1 a 5 termes esmentats anteriorment.

 
(gràfic 2)
Error relatiu en una sèrie de Stirling truncada respecte el nombre de termes utilitzats

Com n → ∞, l'error en la sèrie truncada és asimptòticament igual al primer terme omès. Aquest és un exemple d'una expansió asimptòtica. No és una sèrie convergent; per a qualsevol valor particular de n només hi ha molts termes de la sèrie que milloren la precisió, després de la qual cosa la exactitud en realitat empitjora. Això es mostra en el gràfic que mostra l'error relatiu (gràfic 2), enfront del nombre de termes de la sèrie, per a un major nombre de termes. De manera més precisa, sigui S(n, t) la sèrie de Stirling en t avaluats en n termes.

Els gràfics mostren

 

que, en ser petita, és essencialment l'error relatiu.

Escrivint sèrie de Stirling en la forma

 

se sap que l'error en el truncament de la sèrie és sempre del mateix signe i com a màxim la mateixa magnitud que el primer terme omès.

Límits més precisos, a causa de Robbins,[6] vàlid per a tots els enters positius n són

 .

La fórmula de Stirling per a la funció gammaModifica

Per a tots els enters positius,

 

on Γ denota la funció gamma.

No obstant això, la funció gamma, a diferència del factorial, es defineix de manera més àmplia per a tots els nombres complexos diferents dels nombres enters no positius; però, la fórmula de Stirling encara es pot aplicar. Si Re (z)> 0 llavors

 

repetint la integració per parts dóna

 

que Bn és l'enèsim nombre de Bernoulli (s'ha de tenir en compte que la suma infinita no és convergent, pel que aquesta fórmula és simplement una expansió asimptòtica). La fórmula és vàlida per z prou gran en valor absolut quan | arg(z) | < π − ε, on ε és positiu, amb un terme d'error de O(z−2m − 1) quan s'utilitzen els primers m termes. L'aproximació corresponent es pot escriure:

 

Una altra aplicació d'aquesta expansió asimptòtica és per l'argument complex z amb Re(z) constant. Vegeu, per exemple, la fórmula de Stirling aplicada a Im(z) = t de la funció zeta de Riemann-Siegel en la línia recta 1/4 + it

Límits d'errorModifica

Per a qualsevol enter positiu N, introduïm la següent notació:

 

i

 

Llavors [7]

 

i [8]

 

Per a més informació i altres límits d'error, vegeu els documents citats.

Una versió convergent de la fórmula de StirlingModifica

Thomas Bayes va mostrar, en una carta a John Canton publicada per la Royal Society en 1763, que la fórmula de Stirling no donava una sèrie convergent.[9] L'obtenció d'una versió convergent de la fórmula de Stirling implica l'avaluació de la fórmula de Raabe:

 

Una manera de fer-ho és per mitjà d'una sèrie convergent d'exponencials creixents invertits. Si

 

llavors

 

on

 

on s(nk) denota els nombres de Stirling de primera classe. A partir d'aquest s'obté una versió de la sèrie de Stirling

 

que convergeix quan Re(x) > 0.

Càlculs numèricsModifica

Precisió de la fórmula de StirlingModifica

Per jutjar la seva precisió, podem fer els primers valors de la taula de n :

n n !    
1 1 0,92 0,999
2 2 1,92 1,999
3 6 5,84 5,998
4 24 23,51 23,996
5 120 118,02 119,99
6 720 710,08 719,94
7 5 040 4 980,4 5 039,7
8 40 320 39 902,4 40 318,1
9 362 880 359 536,9 362 866,0
10 3 628 800 3 598 696 3 628 685
15 1 307 674 368 000 1,300 431 × 1012 1,307 665 × 1012
20 2 432 902 008 176 640 000 2,422 787 × 1018 2,432 882 × 1018
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000 1,545 959 × 1025 1,551 113 × 1025
30 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000 2,645 171 × 1032 2,652 519 × 1032
40 815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000 8,142 173 × 1047 8,159 136 × 1047

En  , si reemplacem n per n + 16 , els càlculs es milloren de manera significativa per a valors petits de n (aproximació de Gosper); també es pot triar un marc;[10] finalment, es pot prendre la (successió A055775 a l'OEIS).

Aproximació logarítmicaModifica

 
Comparació de les aproximacions logarítmiques de la fórmula de Stirling

Com a part de la termodinàmica estadística (distribució de Boltzmann), és convenient considerar el logaritme natural d'un factor en fer l'aproximació de Stirling.[11]

L'aproximació consisteix en assimilar la suma a una integral quan n és prou gran.[12]

 

Finalment obtenim la següent aproximació:

 

per la qual, l'error relatiu és menor de l' 1% quan n> 100. Aquesta aproximació es considera vàlida (l'error és insignificant) com a part de la distribució de Boltzmann donats els grans valors de n utilitzats (que representen configuracions microscòpiques un estat macroscòpic).

Una aproximació més exacta de ln (n!) va ser donada per Srinivasa Ramanujan.[13][14]

 

Versions per a calculadoresModifica

L'aproximació:

 

o de manera equivalent,

 

es pot obtenir per la reordenació de la fórmula desenvolupada de Stirling i s'observa una coincidència entre la sèrie de potències resultant i el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció sinus hiperbòlic. Aquesta aproximació és bona per a més de 8 dígits decimals per z amb una part real més gran que 8. Robert H. Windschitl la va suggerir en 2002 per al càlcul de la funció gamma amb força exactitud en les calculadores amb programa limitat o registre de memòria.[15]

Gergo Nemes va proposar en 2007 una aproximació que dóna el mateix nombre de dígits exactes com l'aproximació de Windschitl, però és molt més simple:[16]

 

o de manera equivalent,

 

ReferènciesModifica

  1. Dutka, 1991, p. 225-249.
  2. Le Cam, 1986, p. 78-96.
  3. 3,0 3,1 Pearson, 1924, p. 402-404.
  4. Le Cam, 1935, p. 78-96.
  5. Nemes, 2010, p. 5.
  6. Robbins, 1995, p. 26-29.
  7. F. W. Schäfke, A. Sattler, Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, Note. Mat. 10 (1990), 453–470.
  8. G. Nemes, Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 145 (2015), 571–596.
  9. http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/letter.pdf
  10. Weisstein, Eric W., «Fórmula de Stirling» a MathWorld (en anglès).
  11. Atkins, Chimie Physique, Plantilla:3e éd., deBoeck, Bruxelles, 2008
  12. Jannès, Chimie Physique : Distribution de Boltzmann, HELdB IMC, Bruxelles, 2010
  13. Trott, 2006, p. 359.
  14. Askey, 1988.
  15. Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function (2006)
  16. Nemes, 2010, p. 161-169.

BibliografiaModifica

  • Abramowitz, M; Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions (en anglès), 2002. 
  • Askey, Richard. Book Review: The lost notebook and other unpublished papers (en anglès). American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 19 (2), 1988. DOI 10.1090/S0273-0979-1988-15741-2.  ISSN 0002-9904, MR 1567721
  • Dutka, Jacques. The early history of the factorial function (en anglès). Archive for History of Exact Sciences (Springer) 43 (3), 1991. DOI 10.1007/BF00389433. 
  • Le Cam, L. The central limit theorem around 1935 (en anglès). 1986: Statistical Science 1 (1. DOI 10.1214/ss/1177013818. 
  • Li, Y.C. A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula (en anglès), 2006. 
  • Nemes, Gergő. On the Coefficients of the Asymptotic Expansion of n! (en anglès). Journal of Integer Sequences 13 (6), 2010. 
  • Nemes, Gergő. New asymptotic expansion for the Gamma function (en anglès). Archiv der Mathematik 95 (2), 2010. DOI 10.1007/s00013-010-0146-9r.  ISSN 0003-889X
  • Nemes, Gergő. Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal (en anglès). Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 145, 2015. 
  • Paris, R. B; Kaminski, D. Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals (en anglès). New York: Cambridge University Press, 2001. ISBN 0-521-79001-8. 
  • Pearson, Karl. Historical note on the origin of the normal curve of errors (en anglès). Biometrika 16, 1924. DOI 10.2307/2331714. 
  • Robbins, Herbert. A Remark on Stirling's Formula (en anglès). The American Mathematical Monthly 62 (1), 1955. DOI 10.2307/2308012. 
  • Romik, Dan. Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof? (en anglès). The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6, 2000. 
  • Schäfke, F. W; Sattler, A. Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, Note. Mat. 10 (en alemany), 1990. 
  • Trott, M. Birkhäuser. The Mathematica GuideBook for Symbolics (en anglès), 2006. ISBN 978-0-38795020-4. 
  • Whittaker, E. T; Watson, G. N. A Course in Modern Analysis (en anglès). New York: Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-58807-3. 

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica