Criteri de Cauchy

El criteri de convergència de Cauchy és un criteri usat per estudiar la convergència d'una sèrie infinita, on els seus termes són nombres reals. El criteri va ser publicat per primera vegada per Augustin-Louis Cauchy al seu llibre Cours d'Analyse l'any 1821.[1]

DefinicióModifica

La sèrie   convergeix si i només si per tot   existeix un nombre natural N tal que   es compleix per tot n > N i p ≥ 1.[2]

ExplicacióModifica

(a) La gràfica d'una successió de Cauchy   mostrada en blau, amb   a l'eix d'ordenades i   a l'eix d'abscisses. Si l'espai que conté la successió és complet, la successió té límit.
(b) La gràfica d'una successió que no és de Cauchy. Els elements de la successió no s'apropen tant com es vulgui a mesura que el valor de   creix.

El criteri funciona perquè tant l'espai   dels nombres reals com l'espai   dels nombres complexos (amb la mètrica induïda pel mòdul) són espais mètrics complets. Per tant, la successió és convergent si i només si la suma parcial

 

és una successió de Cauchy.

Una successió de nombres reals o complexos   és una successió de Cauchy si i només si   convergeix (a algun valor de   o  ).[3] La definició formal estableix que per tot   existeix un N, tal que per tot n, m > N es compleix

 

Ordenant m i n de manera que m > n i sigui p = m − n, tenim

 

Veure si una successió és de Cauchy és útil perquè no és necessari determinar el valor del seu límit. El criteri de convergència de Cauchy pot aplicar-se només en espais mètrics complets (com per exemple   i  ) on tota sèrie de Cauchy convergeix. Només cal veure que els seus elements esdevenen arbritràriament propers entre ells després d'una progressió finita a la successió. Hi ha aplicacions en computació per les successions de Cauchy en les que poden construir-se processos iteratius per crear aquestes successions.

DemostracióModifica

Podem fer servir els resultats en convergència de la sèrie de sumes parcials en sèries infinites i aplicar-los a la convergència de la pròpia sèrie infinita. El criteri de Cauchy és una d'aquestes aplicacions.

Per tota successió real  , els resultats anteriors sobre la convergència impliquen que la sèrie infinita

 

convergeix si i només si per tot   existeix un N, tal que m ≥ n ≥ N implica

 .[4]

Una conseqüència interessant d'aquest teorema és que la condició de Cauchy implica l'existència del límit. Aquest fet està relacionat amb la completesa de la recta real.

El criteri de Cauchy pot generalitzar-se per una gran varietat de casos, que podrien definir-se laxament com que "la desaparició progressiva de l'oscil·lació equival a la convergència".[5]

ReferènciesModifica

  1. cf. the answer to the question “Origin of Cauchy convergence test“ of the Q&A website “History of Science and Mathematics”
  2. Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis, p.63. Springer, New York. ISBN 9781441928665
  3. Wade, William. An Introduction to Analysis. Upper Saddle River,NJ: Prentice Hall, 2010, p. 59. ISBN 9780132296380. 
  4. Wade, William. An Introduction to Analysis. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2010, p. 188. ISBN 9780132296380. 
  5. Encyclopedia of Mathematics. «Cauchy Criteria». European Mathematical Society. [Consulta: 4 març 2014].

Vegeu tambéModifica