Criteri de la integral de Cauchy

teorema

En matemàtiques, el criteri de la integral de Cauchy és un mètode utilitzat per comprovar si una sèrie infinita de termes no negatius és convergent. Fou desenvolupat per Colin Maclaurin i Augustin-Louis Cauchy i de vegades es coneix com a criteri de Maclaurin–Cauchy.

El test de la integral aplicat a la sèrie harmònica. Com que l'àrea sota la corba y = 1/x per x ∈ [1, ∞) és infinita, l'àrea total dels rectangles també ha de ser infinita.

Enunciat del teoremaModifica

Sigui N un enter no negatiu, i sigui f una funció contínua definida en l'interval no fitat [N, ∞), on f és monòtona decreixent. Llavors la sèrie infinita

 

convergeix a un nombre real si i només si la integral impròpia

 

és finita. En altres paraules, si la integral divergeix, llavors la sèrie també divergeix.[1]

ComentariModifica

Si la integral impròpia és finita, llavors el criteri també dona les fites inferior i superior

 

 

 

 

 

(1)

per a la sèrie infinita.

DemostracióModifica

La demostració bàsicament utilitza la prova de comparació directa, comparant el terme f(n) amb la integral de f sobre els intervals [n-1, n) i [n, n+1), respectivament.

Com que f és una funció monòtona decreixent, llavors es té que

 

i

 

Per tant, per a tot enter nN,

 

 

 

 

 

(2)

i, per a tot enter nN + 1,

 

 

 

 

 

(3)

Sumant sobre tots els n des d'N fins a un cert enter M més gran, hom obté, a partir de (2),

 

i de (3)

 

Combinant aquests dos resultats, s'obté

 

Si M tendeix a infinit, hom obté les fites de (1) i el resultat.

AplicacionsModifica

La sèrie harmònica

 

divergeix perquè, utilitzant el logaritme natural, la seva antiderivada, i el teorema fonamental de càlcul, hom obté

 

D'altra banda, la sèrie

 

(vegeu funció zeta de Riemann) convergeix per a tot ε > 0, perquè, per la regla de la potència,

 

A partir de (1) hom obté la fita superior

 

que es pot comparar amb alguns dels valors particulars de la funció zeta de Riemann.

Frontera entre divergència i convergènciaModifica

L'exemple anterior sobre la sèrie harmònica planteja la pregunta de quines són les successions monòtones tals que f(n) tendeix a 0 més ràpidament que 1/n però més lentament que 1/n1+ε, en el sentit que

 

per a tot ε > 0, i si la sèrie corresponent de f(n) encara divergeix. Un cop que es pot trobar una tal successió, hom es pot plantejar una qüestió similar amb f(n) prenent el rol de d'1/n, i així successivament. D'aquesta manera es pot investigar la frontera entre la divergència i la convergència de les sèries infinites.

Emprant el criteri integral de convergència, es pot demostrar (veu més avall) que, per a tot nombre natural k, la sèrie

 

 

 

 

 

(4)

encara divergeix (vegeu la demostració de què la suma del recíprocs dels nombres primers divergeix per a k = 1), però

 

 

 

 

 

(5)

convergeix per a tot ε > 0. Aquí lnk denota la k-composició del logaritme natural definit recursivament com

 

Addicionalment, Nk denota el nombre natural més petit tal que la k-composició està ben definida i lnk(Nk) ≥ 1, és a dir:

 

usant la notació de tetració o la notació fletxa de Knuth.

Per veure la divergència de la sèrie (4) utilitzant el criteri de la integral, cal observar que, aplicant reiteradament la regla de cadena

 

Per tant,

 

Per veure la convergència de la sèrie (5), cal observar que, per la regla de la potència, la regla de cadena i el resultat anterior,

 

Per tant,

 

i (1) proporciona fites per a la sèrie infinita de (5).

ReferènciesModifica

  1. Whittaker, E. T.; Watson, G. N.. «4.43 Tests for the convergence of an infinite integral.». A: A Course in Modern Analysis (pdf). quarta edició. Cambridge University Press, 1963, p. 71. 

BibliografiaModifica

Vegeu tambéModifica