Distribució normal complexa

En teoria de probabilitats, la família de distribucions normals complexes, denotat ${\mathcal {CN}}$ o ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$, caracteritza variables aleatòries complexes les parts reals i imaginàries de les quals són conjuntament normals. La família normal complexa té tres paràmetres: paràmetre de localització μ, matriu de covariància $\Gamma$, i la matriu de relacions $C$. La normal complex estàndard és la distribució univariada amb $\mu =0$, $\Gamma =1$, i $C=0$.

Distribució normal complexa

Tipus	distribució de probabilitat

Una subclasse important de la família normal complexa s'anomena la normal complexa de simètrica circular (central) i correspon al cas de la matriu de relació zero i la mitjana zero: $\mu =0$ i $C=0$. Aquest cas s'utilitza àmpliament en el processament del senyal, on de vegades es coneix com a normal complex a la literatura.

Definicions

Variable aleatòria normal estàndard complexa

La variable aleatòria normal complexa estàndard o la variable aleatòria gaussiana complexa estàndard és una variable aleatòria complexa $Z$ les parts reals i imaginàries de les quals són variables aleatòries independents distribuïdes normalment amb mitjana zero i variància $1/2$ . Formalment,

$Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)$ (Eq.1)

on $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ denota això $Z$ és una variable aleatòria normal complexa estàndard.

Variable aleatòria normal complexa

Suposem $X$ i $Y$ són variables aleatòries reals de tal manera que $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ és un vector aleatori normal bidimensional. A continuació, la variable aleatòria complexa $Z=X+iY$ s'anomena variable aleatòria normal complexa o variable aleatòria gaussiana complexa.

$Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$ (Eq.2)

Vector aleatori normal estàndard complex

Un vector aleatori complex n-dimensional $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ és un vector aleatori normal complex estàndard o un vector aleatori gaussià estàndard complex si els seus components són independents i totes són variables aleatòries normals complexes estàndard tal com es defineix anteriorment. Això $\mathbf {Z}$ és un vector aleatori normal complex estàndard es denota $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$.

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ (Eq.3)

Vector aleatori normal complex

Si $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ i $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ són vectors aleatoris en $\mathbb {R} ^{n}$ de tal manera que $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ és un vector aleatori normal amb $2n$ components. Aleshores diem que el vector aleatori complex

$\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,$

és un vector aleatori normal complex o un vector aleatori gaussià complex.

$\mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$ (Eq.4)