Element algebraic

Un element algebraic sobre un cert cos matemàtic és un element d'un conjunt que conté a aquest cos matemàtic i que construïble a partir de certes operacions algebraiques relacionades amb els polinomis sobre el cos original.

IntroduccióModifica

La Teoria de Cossos és una branca de la Teoria d'Anells, que al seu torn és una branca de l'Àlgebra Abstracta. Un dels principals camps d'estudi de la Teoria de Cossos és el de decidir si un polinomi els coeficients del qual estan en el cos té les seues arrels en el cos (és a dir, si al resoldre l'equació polinòmica, les solucions pertanyen o no al cos).

Quan un cos està inclòs en altre cos pot ocórrer que els elements del gran siguen arrels de polinomis amb coeficients en el menut -en aquest cas es diu que els elements són algebraics- o que haja elements que no són arrels de cap d'eixos polinomis. En aquest últim cas es diu que aquests elements són transcendents.

ConstruccióModifica

(La següent informació és de caràcter tècnic, i pot resultar àrdua i incomprensible per al no iniciat en l'Àlgebra Abstracta, però és essencial per a comprendre el desenvolupament d'aquesta branca de la Matemàtica. Per desgràcia no pot exposar-se d'una manera més plana sense perdre rigor, el que faria que deixara de ser útil.)

Siguen dos cossos   i   de forma que   és extensió de  . Siga  . Si  , llavors   és arrel del polinomi  , que és irreduible en   (tot polinomi de grau 1 es irreduible en qualsevol anell de polinomis). Si  , llavors realitzem la següent construcció:

  • Construïm el conjunt  . Este conjunt és un cos, és extensió de  , és subcos de  , i de fet és la menor extensió de   que conté a  . Se li denomina extensió generada per   sobre  .
  • Construïm l'aplicació   que a cada polinomi   li fa correspondre la seua avaluació en  , i.e.,  . Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina aplicació avaluació.

Ara només poden donar-se dues situacions:

  • Ker . En este cas es diu que   és element transcendent sobre  .
  •  . Com   és un anell principal i el nucli d'un homomorfisme d'anells és un ideal de l'anell de partida de l'homomorfisme, llavors   (açò és, l'ideal generat per  ) per algun  . Per el Primer Teorema d'Isomorfia,  , on   és el monomorfisme inclusió canònica (i.e.,   qualsevol que siga el  ),   és el homomorfisme sobrejectiu aplicació projecció canònica (a cada   li assigna la seua classe   en el quocient  ), i   és un isomorfisme d'anells unitaris.
Com   és sobrejectiva (ja que és isomorfisme),  .   (Primer Teorema d'Isomorfia), que és subanell de  , el qual al seu torn és un cos, després   és íntegre per mancar de divisors de zero no nuls, amb el que també   és íntegre.
Però si   és íntegre serà   ideal primer en  . Sabem que   (per hipòtesi), després  . A més, si fóra   (també per hipòtesi). Amb el qual tenim garantit que   és un polinomi irreduible en   (per ser principal). A més, com   és principal, tot ideal primer és maximal, amb el qual   és ideal maximal de  , després   és un cos. Així   és un subcos de  . Com  , si   serà  , amb el qual se demostra que   és un subcos de  .
Per altre costat,  , amb el qual  . Així,   és un subcos de   que conté a   i a  . Com   és la menor extensió de   que conté a   arribem a la conclusió que  .

En esta segona situació ( , o equivalentment, existeix algun   irreduible amb  ) se diu que   és algebraic sobre  .

Un element és algebraic sobre un cos si i sols si és l'arrel d'algun polinomi a coeficients en dit cos.

Polinomi mònic irreduibleModifica

Si   és un element algebraic sobre el cos   de manera que  , el polinomi   que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e.,  ) és irreduible. Dividint   pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potència de la variable  ) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal és la unitat), que se denota per   i se denomina polinomi mònic irreduible de   respecte de  .

Clarament,  .

Vegeu tambéModifica