Nombre algebraic
En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).
on:
- , és el grau del polinomi.
- , els coeficients del polinomi són nombres enters.[1]
El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos dels nombres complexos.[2]
Classificació dels complexos
modifica- Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
- Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).
Definició formal
modificaConsiderem un nombre algebraic diferent de 0. El grau ( ) de correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que . Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau que té com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi definitori.[3]
Exemples
modifica- Tot nombre racional és algebraic, perquè és arrel del polinomi .
- El nombre real és algebraic perquè és arrel del polinomi . Més generalment, si és un nombre racional, llavors és un nombre algebraic de grau amd polinomi .
- El nombre imaginari és algebraic perquè és arrel del polinomi .
- El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi .
- En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.
Referències
modifica- ↑ Narkiewicz, W. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. 2a edició. Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-51250-0.
- ↑ McCarthy, P.J.. Algebraic extensions of fields. Dover Publications, 1991. ISBN 0-486-66651-4.
- ↑ Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-97329-X.
Bibliografia
modifica- Baker, Alan. A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, 1984. ISBN 0-521-28654-9.
- Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95444-9.
- Fröhlich, A.; Taylor, M.J.. Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-36664-X.
- Lang, Serge. Algebraic number theory. Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-94225-4.