En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).

on:

, és el grau del polinomi.
, els coeficients del polinomi són nombres enters.[1]

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos dels nombres complexos.[2]

Classificació dels complexos

modifica
  • Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
  • Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).

Definició formal

modifica

Considerem   un nombre algebraic diferent de 0. El grau ( ) de   correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que  . Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau   que té   com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi definitori.[3]

Exemples

modifica
  • Tot nombre racional   és algebraic, perquè és arrel del polinomi  .
  • El nombre real   és algebraic perquè és arrel del polinomi  . Més generalment, si   és un nombre racional, llavors   és un nombre algebraic de grau   amd polinomi  .
  • El nombre imaginari   és algebraic perquè és arrel del polinomi  .
  • El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi  .
  • En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.

Referències

modifica
  1. Narkiewicz, W. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. 2a edició. Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-51250-0. 
  2. McCarthy, P.J.. Algebraic extensions of fields. Dover Publications, 1991. ISBN 0-486-66651-4. 
  3. Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-97329-X. 

Bibliografia

modifica
  • Baker, Alan. A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, 1984. ISBN 0-521-28654-9. 
  • Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95444-9. 
  • Fröhlich, A.; Taylor, M.J.. Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-36664-X. 
  • Lang, Serge. Algebraic number theory. Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-94225-4.