Equació exponencial

Una equació exponencial és aquella equació en què la incògnita apareix, únicament, en els exponents de potències de bases constants. La incògnita pot aparèixer en l'exponent d'un o més termes, en qualsevol membre de l'equació. És a dir, una constant està elevada a una funció de la incògnita a aclarir, usualment representada per $x$. Per resoldre aquestes equacions s'utilitzen les propietats de la potenciació, la radicació dels logaritmes i canvi de la incògnita per una altra.

Definició

Sigui $a$ un nombre real fixe, positiu i diferent de 1, llavors l'equació es denomina equació exponencial elemental.

$a^{x}=b$

Formes de resolució

Depèn del tipus d'equació exponencial de què es tracti, hi ha diverses formes de resoldre-la, pel seu nivell de complexitat. Les més fàcils són per simple inspecció, és a dir, es descompon la part numèrica en els seus factors primers i aplicant logaritme a banda i banda de la igualtat. A continuació, es brinden alguns exemples.

Igualació de bases

Sigui l'equació de l'exemple següent:

$2^{x+1}=16$

Si el primer membre només té un terme i el terme del segon membre és potència de la base del terme del primer membre, llavors el segon membre s'expressa com a potència de la base de l'expressió que conté la incògnita. En l'exemple, 16 és potència de la base dues de $2^{x+1}$.

$2^{x+1}=2^{4}$

Després, aplicant la següent propietat: $a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y$, llavors: $x+1=4$

$x=4-1\rightarrow x=3$

Canvi de variables

Donada l'equació exponencial de l'exemple següent:

$2\cdot 7^{x+2}+7^{x}=33957$

Se simplifica la seva escriptura:

$2\cdot (7^{x})\cdot 7^{2}+(7^{x})=33957$

S'aplica el canvi de variable i s'escriu:

$7^{x}=a$

Ara, en reemplaçar, es té:

$2a\cdot 49+a=33957$

S'aïlla $a$:

$99a=33957$

$a={\frac {33957}{99}}\rightarrow a=343$

i finalment, es desfà el canvi de variable:

$x=\log _{7}(a)=\log _{7}(343)=3$

Passant a una algebraica

Donada l'equació:

$2\cdot 9^{x}-3^{x+1}-2=0$

se simplifica:

$2\cdot (3^{x})^{2}-3\cdot 3^{x}-2=0$

Després se substitueix $y=3^{x}$, amb això s'aconsegueix una equació de segon grau:

$2y^{2}-3y-2=0$

Si es resol l'equació de segon grau s'aconsegueixen els següents resultats: $y=2$; $y=-{\frac {1}{2}}$. L'última solució és impossible, atès que $3^{x}>0$. Per tant, només pot ser la solució $3^{x}=2$:

$x=\log _{3}(2)$

Utilitzant logaritmes

Article principal: logaritme binari

Donada l'equació:

$4^{x+1}\cdot 8^{x}=4096$

S'aplica el logaritme a banda i banda de l'equació:

$log_{2}(4^{x+1}\cdot 8^{x})=\log _{2}4096$

Per propietats dels logaritmes, s'obté:

$log_{2}(4^{x+1})+\log _{2}(8^{x})=\log _{2}4096$

$(x+1)\cdot \log _{2}4+x\cdot \log _{2}8=\log _{2}4096$

Operant:

$(x+1)\cdot 2+x\cdot 3=12\Rightarrow 2x+2+3x=12\Rightarrow 5x=10$

Finalment, s'aïlla i es resol:

$x=2$

Canvi de base de les potències

Donada l'equació:

$4^{x+1}\cdot 8^{x}=4096$

Es passen les potències de base 4 i 8 a potències de base 2, com també $4096=2^{12}$, es té:

$2^{2x+2}\cdot 2^{3x}=2^{12}$

Igualant els exponents:

$(2x+2)+3x=12$

Finalment:

$5x=10\Rightarrow x=2$

Equacions exponencial més complexes

Quan la incògnita es troba en l'índex d'una arrel, també se la considera exponencial, ja que es pot rescriure com a potència amb exponent fraccionari. Sigui l'equació:

${\sqrt[{3x+1}]{2^{x+2}}}=8$

Noti's que la variable es troba també en líndex de l'arrel. Per les propietats de la radicació, es reescriu com:

$2^{\frac {x+2}{3x+1}}=8$

S'aplica el mètode d'igualació de bases:

$2^{\frac {x+2}{3x+1}}=2^{3}$

Igualant els exponents:

${\frac {x+2}{3x+1}}=3$

Operant i aïllant:

$x=-{\frac {1}{8}}$

Altres aplicacions de les equacions exponencials

Consideri's la següent equació:

$1+2+4+8+\cdots +2^{x}=1023$

Noti's que els diferents termes formen part d'una progressió geomètrica. Per resoldre aquesta suma dels $n$ termes d'una progressió geomètrica, sabent que aquesta progressió té 5 termes:

$S_{n}={\cfrac {a_{n}r-a_{1}}{r-1}}$

Se substitueixen els nombres a la fórmula:

$1023={\frac {2^{x}\cdot 2-1}{2-1}}$

Se simplifica:

$1023=2^{x}\cdot 2-1\Rightarrow 1024=2^{x}\cdot 2\Rightarrow 512=2^{x}$

Igualant les bases:

$2^{9}=2^{x}$

Resolent:

$9=x$

El mateix raonament és aplicable per a qualsevol progressió geomètrica.

L'interès compost

Si $C$ representa el capital invertit a una taxa de $r$ per cent anual, i $m$ denota el nombre de vegades a l'any que s'acumula l'interès, llavors la suma acumulat $M$ després de $x$ anys es calcula mitjançant la fórmula:

$M=C\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mx}$

El valor de $x$ s'avalua mitjançant logaritmes.

També en el cas de la desintegració de cert material radioactiu es compleix la fórmula:

$Q=Q_{0}\cdot 10^{-kt}$

On:

• $Q$ está en grams (g)
• $t$ en anys
• $Q_{0}$ en grams (g)

• $k$ és una constant de variació de la quantitat de substància respecte a la seva massa.

Funció exponencial

Article principal: Funció exponencial

Les equacions exponencials també sorgeixen quan es volen calcular arrels o punts particulars de les funcions exponencials. En la funció exponencial $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \;/\;f(x)=2^{x}\,$, per saber en quin punt la seva gràfica talla l'eix d'ordenades, s'ha de plantejar l'equació:

$2^{0}=x$

Operant s'arriba a la conclusió que $x=1\,$.

Si es vol saber en quin punt de l'eix d'abscisses la gràfica intersecta l'eix d'ordenades en el punt 1, es planteja:

$2^{x}=1\Rightarrow x=0$

Un altre exemple:

Trobar el valor de $x\,$ si $f(x)=12$ i $f(x)=3^{x}\,$

$3^{x}=12\Rightarrow \log {3^{x}}=\log {12}\Rightarrow x={\frac {\log {12}}{\log {3}}}\approx 2{,}262$

Vegeu també

• Funció exponencial
• Logaritme
• Potenciació
• Arrel enèsima
• Equacions
• Progressió geomètrica