Equació exponencial

Una equació exponencial és aquella equació en què la incògnita apareix, únicament, en els exponents de potències de bases constants.[1] La incògnita pot aparèixer en l'exponent d'un o més termes, en qualsevol membre de l'equació. És a dir, una constant està elevada a una funció de la incògnita a aclarir, usualment representada per . Per resoldre aquestes equacions s'utilitzen les propietats de la potenciació, la radicació dels logaritmes i canvi de la incògnita per una altra.

DefinicióModifica

Sigui   un nombre real fixe, positiu i diferent de 1, llavors l'equació es denomina equació exponencial elemental.[2]

 

Formes de resolucióModifica

Depèn del tipus d'equació exponencial de què es tracti, hi ha diverses formes de resoldre-la, pel seu nivell de complexitat. Les més fàcils són per simple inspecció, és a dir, es descompon la part numèrica en els seus factors primers i aplicant logaritme a banda i banda de la igualtat. A continuació, es brinden alguns exemples.

Igualació de basesModifica

Sigui l'equació de l'exemple següent:

 

Si el primer membre només té un terme i el terme del segon membre és potència de la base del terme del primer membre, llavors el segon membre s'expressa com a potència de la base de l'expressió que conté la incògnita. En l'exemple, 16 és potència de la base dues de  .

 

Després, aplicant la següent propietat:  , llavors:  

 

Canvi de variablesModifica

Donada l'equació exponencial de l'exemple següent:

 

Se simplifica la seva escriptura:

 

S'aplica el canvi de variable i s'escriu:

 

Ara, en reemplaçar, es té:

 

S'aïlla  :

 

 

i finalment, es desfà el canvi de variable:

 

Passant a una algebraicaModifica

Donada l'equació:[3]

 

se simplifica:

 

Després se substitueix  , amb això s'aconsegueix una equació de segon grau:

 

Si es resol l'equació de segon grau s'aconsegueixen els següents resultats:  ;  . L'última solució és impossible, atès que  . Per tant, només pot ser la solució  :

 

Utilitzant logaritmesModifica

Article principal: logaritme binari

Donada l'equació:

 

S'aplica el logaritme a banda i banda de l'equació:

 

Per propietats dels logaritmes, s'obté:

 

 

Operant:

 

Finalment, s'aïlla i es resol:

 

Canvi de base de les potènciesModifica

Donada l'equació:

 

Es passen les potències de base 4 i 8 a potències de base 2, com també  , es té:

 

Igualant els exponents:

 

Finalment:

 

Equacions exponencial més complexesModifica

Quan la incògnita es troba en l'índex d'una arrel, també se la considera exponencial, ja que es pot rescriure com a potència amb exponent fraccionari. Sigui l'equació:

 

Noti's que la variable es troba també en líndex de l'arrel. Per les propietats de la radicació, es reescriu com:

 

S'aplica el mètode d'igualació de bases:

 

Igualant els exponents:

 

Operant i aïllant:

 

Altres aplicacions de les equacions exponencialsModifica

Consideri's la següent equació:

 

Noti's que els diferents termes formen part d'una progressió geomètrica. Per resoldre aquesta suma dels   termes d'una progressió geomètrica, sabent que aquesta progressió té 5 termes:

 

Se substitueixen els nombres a la fórmula:

 

Se simplifica:

 

Igualant les bases:

 

Resolent:

 

El mateix raonament és aplicable per a qualsevol progressió geomètrica.

L'interès compostModifica

Si   representa el capital invertit a una taxa de   per cent anual, i   denota el nombre de vegades a l'any que s'acumula l'interès, llavors la suma acumulat   després de   anys es calcula mitjançant la fórmula:[4]

 

El valor de   s'avalua mitjançant logaritmes.

També en el cas de la desintegració de cert material radioactiu es compleix la fórmula:

 

On:

  •   está en grams (g)
  •   en anys
  •   en grams (g)
  •   és una constant de variació de la quantitat de substància respecte a la seva massa.[5]

Funció exponencialModifica

Article principal: Funció exponencial

Les equacions exponencials també sorgeixen quan es volen calcular arrels o punts particulars de les funcions exponencials. En la funció exponencial  , per saber en quin punt la seva gràfica talla l'eix d'ordenades, s'ha de plantejar l'equació:

 

Operant s'arriba a la conclusió que  .

Si es vol saber en quin punt de l'eix d'abscisses la gràfica intersecta l'eix d'ordenades en el punt 1, es planteja:

 

Un altre exemple:

Trobar el valor de   si   i  

 

ReferènciesModifica

  1. Manual de matemática (1985) Tsipkin; Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova, pg. 170
  2. Potápov- Alexándrov-Pasichenko: Álgebra y análisis de funciones elementales, Editorial Mir Moscú ( 1986)
  3. Álgebra y principios de análisis parte I (1981) Diigido por Yakovliev, Editorial Mir, MoscúTraducido por Samojválov, pg. 208
  4. Algebra moderna y trigonometría (198) Dolciani con Berman y Wooton, Publicaciones Cultural, S.A. México D.F. pg.,361
  5. Ibídem, pg. 364

Vegeu tambéModifica