Equivalència lògica

En lògica i matemàtiques, enunciats i es diu que són lògicament equivalents si són demostrables entre si sota un conjunt d’axiomes,[1] o tenen el mateix valor de veritat en tots els models.[2] L'equivalència lògica de i de vegades s'expressa com , ,[3] , o , en funció de la notació que s’utilitzi. No obstant això, aquests símbols també s'utilitzen per a l' equivalència material, de manera que la interpretació adequada dependria del context. L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material, tot i que els dos conceptes estan intrínsecament relacionats.

Equivalències lògiquesModifica

En lògica, existeixen moltes equivalències lògiques comunes i sovint es llisten com a lleis o propietats. Les següents taules il·lustren algunes d’aquestes.

Equivalències lògiques generals[3]Modifica

 </br>   Lleis d’identitat
 </br>   Lleis de dominació
 </br>   Lleis idempotents o de tautologia
  Llei de doble negació
 </br>   Lleis commutatives
 </br>   Lleis associatius
 </br>   Lleis distributives
 </br>   Lleis de De Morgan
 </br>   Lleis d’absorció
 </br>   Lleis de negació
Lleis de negació

Equivalències lògiques que impliquen enunciats condicionalsModifica

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  

Equivalències lògiques que impliquen bicondicionalsModifica

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

ExemplesModifica

En lògicaModifica

Les següents afirmacions són lògicament equivalents:

  1. Si Lisa és a Dinamarca, llavors és a Europa (una declaració del formulari   ).
  2. Si Lisa no és a Europa, llavors no és a Dinamarca (una declaració del formulari   ).

Sintàcticament, (1) i (2) són derivables entre si mitjançant les regles de contraposició i doble negació. Semànticament, (1) i (2) són certes exactament en els mateixos models (interpretacions, valoracions); és a dir, aquells en què Lisa és a Dinamarca és falsa o Lisa és a Europa és cert.

(Cal tenir en compte que en aquest exemple, se suposa la lògica clàssica. Algunes lògiques no clàssiques no consideren que (1) i (2) siguin lògicament equivalents.)

En matemàtiquesModifica

En matemàtiques, dos enunciats   i   Se sol dir que són lògicament equivalents, si es poden demostrar entre si donant un conjunt d’axiomes i pressupòsits. Per exemple, la declaració "   és divisible per 6 "es pot considerar equivalent a l'enunciat"   és divisible per 2 i 3 ", ja que es pot demostrar el primer a partir del segon (i viceversa) utilitzant alguns coneixements de la teoria bàsica de números.[4]

Relació amb l'equivalència materialModifica

L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material. Fórmules   i   són lògicament equivalents si i només si l'enunciat de la seva equivalència material (   ) és una tautologia.[5]

L'equivalència material de   i   (sovint escrit com   ) és en si mateixa una altra afirmació en el mateix llenguatge objecte que   i   . Aquesta afirmació expressa la idea "'   si i només si   '". En particular, el valor de veritat de   pot canviar d’un model a un altre.

D'altra banda, l'afirmació que dues fórmules són lògicament equivalents és una afirmació en metallenguatge, que expressa una relació entre dues afirmacions   i   . Les afirmacions són lògicament equivalents si, en cada model, tenen el mateix valor de veritat.

ReferènciesModifica

  1. «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 24 novembre 2019].
  2. Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic. 2a edició, 1979, p. 56. 
  3. 3,0 3,1 «Mathematics | Propositional Equivalences» (en anglès americà). GeeksforGeeks, 22-06-2015. [Consulta: 24 novembre 2019].
  4. «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 24 novembre 2019].
  5. Copi, Irving. Introduction to Logic. New International. Pearson, 2014, p. 348. 

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica